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京都大学 1982年理系第3問解説

方針・初手

平面上の点の位置関係を扱う問題であるため、位置ベクトルを利用して代数的に処理するのが最も確実で簡潔なアプローチである。まずは任意の原点から各頂点への位置ベクトルを設定し、条件に従って重心のベクトルを計算する。 (1)では、4つの線分が1点で交わることを示すために、「4点の重心」という対称性の高い点が存在することを導き出す。 (2)以降は、(1)で見つけた共有点 $P$ をベクトルの原点として取り直すことで、計算式が劇的にシンプルになる。この「重心を原点に取る」テクニックは、多角形の重心が絡む問題で非常に有効である。

解法1

平面上の任意の点を原点 $O$ とし、四辺形の各頂点 $A, B, C, D$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ とする。また、任意の自然数 $n$ に対して、点 $A_n, B_n, C_n, D_n$ の位置ベクトルを $\vec{a_n}, \vec{b_n}, \vec{c_n}, \vec{d_n}$ とする。

(1) 条件より、$\triangle BCD$ の重心 $A_1$ の位置ベクトル $\vec{a_1}$ は

$$ \vec{a_1} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} $$

である。線分 $AA_1$ を $3:1$ に内分する点を $P$ とし、その位置ベクトルを $\vec{p}$ とすると、

$$ \vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{a_1}}{3+1} = \frac{\vec{a} + 3 \cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}}{4} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4} $$

となる。この式は $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ について対称である。したがって、線分 $BB_1$ を $3:1$ に内分する点、線分 $CC_1$ を $3:1$ に内分する点、線分 $DD_1$ を $3:1$ に内分する点も、すべて位置ベクトルが $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ となり、点 $P$ に一致する。これらはすべてそれぞれの線分上の点（内分点）であるため、線分 $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ は1点 $P$ を共有することが示された。

(2) 以降、(1)で求めた共有点 $P$ を位置ベクトルの原点として取り直す。このとき、$\vec{p} = \vec{0}$ であるから、

$$ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = \vec{0} $$

が成り立つ。ここで、すべての自然数 $n$ において $\vec{a_n}+\vec{b_n}+\vec{c_n}+\vec{d_n} = \vec{0}$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。 (i)

$n=1$ のとき

$$ \vec{a_1}+\vec{b_1}+\vec{c_1}+\vec{d_1} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} + \frac{\vec{c}+\vec{d}+\vec{a}}{3} + \frac{\vec{d}+\vec{a}+\vec{b}}{3} + \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{3(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})}{3} = \vec{0} $$

よって成り立つ。 (ii)

$n=k$ のとき $\vec{a_k}+\vec{b_k}+\vec{c_k}+\vec{d_k} = \vec{0}$ が成り立つと仮定すると、$n=k+1$ のとき

$$ \vec{a_{k+1}}+\vec{b_{k+1}}+\vec{c_{k+1}}+\vec{d_{k+1}} = \frac{\vec{b_k}+\vec{c_k}+\vec{d_k}}{3} + \frac{\vec{c_k}+\vec{d_k}+\vec{a_k}}{3} + \frac{\vec{d_k}+\vec{a_k}+\vec{b_k}}{3} + \frac{\vec{a_k}+\vec{b_k}+\vec{c_k}}{3} = \frac{3(\vec{a_k}+\vec{b_k}+\vec{c_k}+\vec{d_k})}{3} = \vec{0} $$

よって、$n=k+1$ のときも成り立つ。 (i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $\vec{a_n}+\vec{b_n}+\vec{c_n}+\vec{d_n} = \vec{0}$ である。

これより、任意の自然数 $n$ において $\vec{b_n}+\vec{c_n}+\vec{d_n} = -\vec{a_n}$ となるため、

$$ \vec{a_{n+1}} = \frac{\vec{b_n}+\vec{c_n}+\vec{d_n}}{3} = \frac{-\vec{a_n}}{3} = -\frac{1}{3}\vec{a_n} $$

が成り立つ。これは、数列 $\{\vec{a_n}\}$ が公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列であることを意味する。（ここで $\vec{a_0} = \vec{a}$ とみなす）したがって、一般項は

$$ \vec{a_n} = \left(-\frac{1}{3}\right)^n \vec{a} $$

と表される。すべての $n$ において $\vec{a_n}$ は $\vec{a}$ の実数倍であるため、点 $A_n$ は原点 $P$ と点 $A$ を結ぶ直線上に存在する。よって、点 $A_n \ (n=1,2,3,\cdots)$ は1直線上にあることが示された。

(3) 点 $P$ は原点であるから、線分 $A_n P$ の長さ $\overline{A_n P}$ はベクトルの大きさ $|\vec{a_n}|$ に等しい。 (2)の結果より、

$$ \overline{A_n P} = |\vec{a_n}| = \left| \left(-\frac{1}{3}\right)^n \vec{a} \right| = \left|-\frac{1}{3}\right|^n |\vec{a}| = \frac{1}{3^n} |\vec{a}| $$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{3^n} \to 0$ であり、$|\vec{a}|$ は定数であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} \overline{A_n P} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} |\vec{a}| = 0 $$

であることが示された。

解説

図形の性質をベクトルを用いて代数的に解き明かす、非常に美しい問題である。四角形の4つの頂点からそれぞれ三角形の重心を作り、新しい四角形を作るという操作を繰り返すと、最終的に元の四角形の「重心」に収束していく様子が式から読み取れる。 (1)で現れた $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ は、質点が等しく配置された四角形の重心のベクトル表現である。この点を新しい原点として設定し直すことで、(2)の連立漸化式が単独の等比数列に帰着し、計算を大幅にショートカットできる。対称性を持つ図形問題では、「重心を原点に取る」アプローチを常に引き出しとして持っておきよう。