北海道大学 1976年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた無限級数は初項 $\sin^2 x$、公比 $\cos^3 x$ の無限等比級数である。無限等比級数 $a+ar+ar^2+\cdots$ が収束する条件は「$a=0$ または $|r|<1$」であるから、初項が $0$ になる場合とそうでない場合で場合分けを行う。求めた和 $f(x)$ は $x=0$ において不連続となることに注意して極限と増減を調べる。

解法1

(1)

与えられた無限級数は、初項 $\sin^2 x$、公比 $\cos^3 x$ の無限等比級数である。

(i) 初項が $0$ のとき

$\sin^2 x = 0$ となるのは、$-\pi \leqq x \leqq \pi$ より $x = -\pi, 0, \pi$ のときである。 このとき、すべての項が $0$ となるため、無限級数は収束し、その和は $0$ となる。 すなわち、$f(-\pi) = f(0) = f(\pi) = 0$ である。

(ii) 初項が $0$ でないとき

$\sin^2 x \neq 0$ となるのは、$-\pi < x < 0$ または $0 < x < \pi$ のときである。 この範囲では、$-1 < \cos x < 1$ より $|\cos^3 x| < 1$ となるため、無限等比級数は収束する。 その和 $f(x)$ は、

$$ f(x) = \frac{\sin^2 x}{1 - \cos^3 x} $$

となる。ここで、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$ であり、分母は $1 - \cos^3 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x + \cos^2 x)$ と因数分解できる。 $\sin^2 x \neq 0$ より $\cos x \neq 1$ であるから、分母分子を $1 - \cos x$ で割って、

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x + \cos^2 x)} \\ &= \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x + \cos^2 x} \end{aligned} $$

以上 (i), (ii) より、

$$ f(x) = \begin{cases} 0 & (x = -\pi, 0, \pi) \\ \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x + \cos^2 x} & (-\pi < x < 0, 0 < x < \pi) \end{cases} $$

(2)

$x \to 0$ の極限を考えるので、$x \neq 0$ における $f(x)$ の式を用いる。 (1) の結果より、

$$ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x + \cos^2 x} $$

$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ であるから、

$$ \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1 + 1}{1 + 1 + 1^2} = \frac{2}{3} $$

(3)

$f(-x) = f(x)$ が成り立つため、$f(x)$ は偶関数である。したがって、$0 < x \leqq \pi$ の範囲で増減を調べ、$-\pi \leqq x < 0$ の範囲は $y$ 軸に関する対称性を利用する。

$0 < x < \pi$ の範囲において、導関数 $f'(x)$ は、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{(-\sin x)(1 + \cos x + \cos^2 x) - (1 + \cos x)(-\sin x - 2\cos x \sin x)}{(1 + \cos x + \cos^2 x)^2} \\ &= \frac{-\sin x \{ (1 + \cos x + \cos^2 x) - (1 + \cos x)(1 + 2\cos x) \}}{(1 + \cos x + \cos^2 x)^2} \\ &= \frac{-\sin x \{ 1 + \cos x + \cos^2 x - (1 + 3\cos x + 2\cos^2 x) \}}{(1 + \cos x + \cos^2 x)^2} \\ &= \frac{-\sin x (-2\cos x - \cos^2 x)}{(1 + \cos x + \cos^2 x)^2} \\ &= \frac{\sin x \cos x (2 + \cos x)}{(1 + \cos x + \cos^2 x)^2} \end{aligned} $$

$0 < x < \pi$ において、$\sin x > 0$、$2 + \cos x > 0$、$(1 + \cos x + \cos^2 x)^2 > 0$ であるため、$f'(x)$ の符号は $\cos x$ の符号と一致する。 したがって、$f'(x) = 0$ となるのは $\cos x = 0$ すなわち $x = \frac{\pi}{2}$ のときである。 このとき、極大値は $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1 + 0}{1 + 0 + 0} = 1$ である。

また、区間の端点付近での極限を調べる。

$$ \lim_{x \to \pi - 0} f(x) = \lim_{x \to \pi - 0} \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x + \cos^2 x} = \frac{1 - 1}{1 - 1 + 1} = 0 $$

これは $f(\pi) = 0$ と一致する。（すなわち $x = \pi$ で連続） 一方、(2) より $\lim_{x \to +0} f(x) = \frac{2}{3}$ であり、$f(0) = 0$ であるから、$x = 0$ では不連続である。

以上より、$0 < x \leqq \pi$ における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$f(x)$ は偶関数であることを考慮して $-\pi \leqq x \leqq \pi$ 全体のグラフの概形を描く。

解説

無限等比級数が収束する条件「初項が $0$」または「公比 $r$ が $|r|<1$」の確認が必須となる問題である。特に初項が $0$ になるケース（本問では $x=0, \pm\pi$）を見落とすと、$f(0)$ の値が正しく求まらず、(2) や (3) で不連続点を見逃す原因となる。 (2) で求めた極限値と $f(0)$ の値が異なるため、グラフは $y$ 軸上で不連続（点が飛ぶ）になることに注意が必要である。グラフを描く際は白丸と黒丸を用いて不連続性を明示することが求められる。

答え

(1)

$$ f(x) = \begin{cases} 0 & (x = -\pi, 0, \pi) \\ \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x + \cos^2 x} & (-\pi < x < 0, 0 < x < \pi) \end{cases} $$

(2)

$$ \frac{2}{3} $$

(3) 増減は、$(-\pi, 0)$ および $(0, \pi)$ の範囲において、 $x = -\frac{\pi}{2}$ のとき 極大値 $1$ $x = \frac{\pi}{2}$ のとき 極大値 $1$ をとり、それ以外に極値はない。 $y=f(x)$ のグラフは以下の特徴を持つ曲線である。

• グラフは $y$ 軸に関して対称である。
• 点 $(-\pi, 0), (\pi, 0)$ を通る。
• 点 $(0, 0)$ を独立した点として通る（黒丸）。
• 点 $(0, \frac{2}{3})$ に限りなく近づくが、この点は通らない（白丸）。
• $(-\pi, 0)$ から $(-\frac{\pi}{2}, 1)$ へ向かって単調増加し、その後 $(0, \frac{2}{3})$ へ向かって単調減少する。
• $(0, \frac{2}{3})$ から $(\frac{\pi}{2}, 1)$ へ向かって単調増加し、その後 $(\pi, 0)$ へ向かって単調減少する。