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名古屋大学 1977年理系第5問解説

方針・初手

(1) 積分変数が $t$ であることに注意し、$x$ は定数として扱う。被積分関数が多項式と三角関数の積であるため、部分積分法を用いて計算するのが簡明である。

(2) (1)で求めた $f_n(x)$ を $x$ について微分し、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ における増減を調べることで最大値 $a_n$ を特定する。その後、$n a_n$ の極限を計算するが、正弦関数を含む項の極限は、はさみうちの原理を用いて処理する。

解法1

(1)

積分変数は $t$ であるから、$x$ を定数とみなして部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} f_n(x) &= \int_0^x (x - t) \sin nt \, dt \\ &= \int_0^x (x - t) \left( -\frac{1}{n} \cos nt \right)' \, dt \\ &= \left[ (x - t) \left( -\frac{1}{n} \cos nt \right) \right]_0^x - \int_0^x (-1) \left( -\frac{1}{n} \cos nt \right) \, dt \\ &= 0 - x \left( -\frac{1}{n} \cos 0 \right) - \frac{1}{n} \int_0^x \cos nt \, dt \\ &= \frac{x}{n} - \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin nt \right]_0^x \\ &= \frac{x}{n} - \frac{1}{n^2} \sin nx \end{aligned} $$

(2)

(1)の結果より、$f_n(x) = \frac{x}{n} - \frac{1}{n^2} \sin nx$ である。これを $x$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} f_n'(x) &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \cdot n \cos nx \\ &= \frac{1}{n} (1 - \cos nx) \end{aligned} $$

任意の $x$ に対して $-1 \leqq \cos nx \leqq 1$ であるから、$1 - \cos nx \geqq 0$ となり、$f_n'(x) \geqq 0$ が成り立つ。よって、$f_n(x)$ は常に単調増加する関数である。

したがって、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ における $f_n(x)$ の最大値 $a_n$ は、$x = \frac{\pi}{2}$ のときにとる。

$$ \begin{aligned} a_n &= f_n\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \frac{\pi}{2n} - \frac{1}{n^2} \sin \frac{n\pi}{2} \end{aligned} $$

求める極限は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n a_n &= \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\pi}{2n} - \frac{1}{n^2} \sin \frac{n\pi}{2} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2} \right) \end{aligned} $$

ここで、すべての自然数 $n$ に対して $-1 \leqq \sin \frac{n\pi}{2} \leqq 1$ が成り立つから、各辺を $n$ で割ると、

$$ -\frac{1}{n} \leqq \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2} \leqq \frac{1}{n} $$

$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{1}{n} \right) = 0$ かつ $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2} = 0 $$

以上より、求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} n a_n = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} $$

解説

(1)の定積分は、$\int_0^x (x \sin nt - t \sin nt) \, dt$ と展開してから計算することもできるが、解答のように $(x-t)$ をひとまとまりの多項式と見て部分積分を行うほうが、計算量が少なく符号ミスも防ぎやすい。

(2)では、導関数 $f_n'(x)$ が常に $0$ 以上になることから単調増加であると結論づけるのがポイントである。また、極限計算において $\frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2}$ が現れるが、「有界な関数 $\times$ $0$に収束する関数」の極限は $0$ になるという性質を、はさみうちの原理を用いて記述する典型的な処理である。