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名古屋大学 1976年文系第4問解説

方針・初手

対数関数の定義域は真数条件から求める。真数部分の3次式を因数分解し、不等式を解く。極値については、導関数 $y'$ を計算し、$y' = 0$ となる $x$ の値を求める。得られた $x$ の値が定義域に含まれるかどうかの確認を忘れないこと。

解法1

真数部分を $f(x) = x^3 - 3ax^2 + (2a^2 + 2a - 1)x - a(2a - 1)$ とおく。因数定理を用いるため、$x = a$ を代入すると、

$$ f(a) = a^3 - 3a^3 + (2a^2 + 2a - 1)a - a(2a - 1) = 0 $$

となるため、$f(x)$ は $x - a$ を因数にもつ。因数分解を進めると、

$$ f(x) = (x - a)(x^2 - 2ax + 2a - 1) $$

さらに $x = 1$ を代入すると $1 - 2a + 2a - 1 = 0$ となるため、$x^2 - 2ax + 2a - 1$ は $x - 1$ を因数にもつ。

$$ f(x) = (x - 1)(x - a)(x - (2a - 1)) $$

対数関数の定義域は真数条件より $f(x) > 0$ である。ここで、条件 $a > 1$ であるから、

$$ a - 1 > 0 $$

$$ (2a - 1) - a = a - 1 > 0 $$

よって、$1 < a < 2a - 1$ が成り立つ。したがって、不等式 $(x - 1)(x - a)(x - (2a - 1)) > 0$ の解は、

$$ 1 < x < a, \quad 2a - 1 < x $$

これが求める定義域である。

次に、$y$ が極値をとる $x$ の値を求める。 $y = \log_a f(x)$ について、$x$ で微分すると、

$$ y' = \frac{f'(x)}{f(x) \log a} $$

底の条件 $a > 1$ より $\log a > 0$ である。また、定義域において $f(x) > 0$ であるから、$y'$ の符号は $f'(x)$ の符号と一致する。

$$ f'(x) = 3x^2 - 6ax + 2a^2 + 2a - 1 $$

$f'(x) = 0$ とすると、解の公式より、

$$ x = \frac{3a \pm \sqrt{9a^2 - 3(2a^2 + 2a - 1)}}{3} = \frac{3a \pm \sqrt{3a^2 - 6a + 3}}{3} = a \pm \frac{\sqrt{3}}{3}(a - 1) $$

ここで、$\alpha = a - \frac{\sqrt{3}}{3}(a - 1)$, $\beta = a + \frac{\sqrt{3}}{3}(a - 1)$ とおく（$\alpha < \beta$）。導関数は $f'(x) = 3(x - \alpha)(x - \beta)$ と表せる。これら $\alpha, \beta$ と定義域の境界 $1, a, 2a - 1$ との大小関係を調べる。 $a > 1$ より $a - 1 > 0$ であり、$1 < \sqrt{3} < 3$ より $0 < \frac{\sqrt{3}}{3} < 1$ であるから、

$$ \alpha - 1 = a - 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}(a - 1) = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)(a - 1) > 0 $$

$$ a - \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}(a - 1) > 0 $$

よって、$1 < \alpha < a$ であり、$\alpha$ は定義域に含まれる。また、

$$ \beta - a = \frac{\sqrt{3}}{3}(a - 1) > 0 $$

$$ (2a - 1) - \beta = 2a - 1 - a - \frac{\sqrt{3}}{3}(a - 1) = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)(a - 1) > 0 $$

よって、$a < \beta < 2a - 1$ であり、$\beta$ は定義域に含まれない。

以上から、定義域において $y'$ の符号が変化するのは $x = \alpha$ のみであることがわかる。定義域における $y$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$(1)$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$(a)$	$\cdots$	$(2a - 1)$	$\cdots$
$y'$		$+$	$0$	$-$		/		$+$
$y$		$\nearrow$	極大	$\searrow$		/		$\nearrow$

増減表より、$y$ は $x = \alpha$ で極大値をもつ。

よって、$y$ が極値をとる $x$ の値は $x = a - \frac{\sqrt{3}}{3}(a - 1)$ である。

解説

真数条件の確認と、導関数の符号変化を調べる微分の問題である。 3次式の因数分解では、文字定数が含まれていても因数定理を用いて $x$ に文字式を代入して $0$ になるものを探すのがセオリーである。また、極値の候補となる $x$ の値を求めた後、それらが定義域内に存在するかどうかを確認するプロセスが不可欠である。ここで不等式を用いた大小関係の厳密な評価が求められる。