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大阪大学 2018年理系第1問解説

方針・初手

（1）は不等式の証明の定石通り、(右辺) - (中辺) および (中辺) - (左辺) を関数としておき、微分して導関数の符号から単調増加であることを示す。（2）は関数 $y$ を微分して増減を調べる。その際、(1)で示した不等式を利用して導関数の符号を決定する。また、値域を求めるために $x \to \infty$ および $x \to +0$ の極限を計算するが、ここでも(1)の不等式を用いたはさみうちの原理を活用する。

解法1

(1)

$f(x) = \log(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right)$ とおく。

$$ f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x} $$

$x > 0$ において $f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は単調に増加する。

$f(0) = 0$ より、$x > 0$ において $f(x) > f(0) = 0$ となり、

$$ x - \frac{x^2}{2} < \log(1+x) $$

が成り立つ。

次に、$g(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x}} - \log(1+x)$ とおく。

$$ \begin{aligned} g'(x) &= \frac{1 \cdot \sqrt{1+x} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{1+x} - \frac{1}{1+x} \\ &= \frac{2(1+x) - x}{2(1+x)\sqrt{1+x}} - \frac{1}{1+x} \\ &= \frac{x+2 - 2\sqrt{1+x}}{2(1+x)\sqrt{1+x}} \end{aligned} $$

ここで、分子について $h(x) = x+2 - 2\sqrt{1+x}$ とおくと、

$$ h'(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{1+x}} = \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}} $$

$x > 0$ において $\sqrt{1+x} > 1$ であるから、$h'(x) > 0$ となり $h(x)$ は単調に増加する。

$h(0) = 0$ より、$x > 0$ において $h(x) > h(0) = 0$ となる。

したがって、常に $g'(x) > 0$ となるから、$g(x)$ は単調に増加する。

$g(0) = 0$ より、$x > 0$ において $g(x) > g(0) = 0$ となり、

$$ \log(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}} $$

が成り立つ。

以上より、$x > 0$ の範囲で与えられた不等式が成り立つことが示された。

(2)

与えられた関数は通分すると $y = \frac{x - \log(1+x)}{x\log(1+x)}$ と書ける。まず、$y = \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}$ を微分する。

$$ \begin{aligned} y' &= -\frac{1}{\{\log(1+x)\}^2} \cdot \frac{1}{1+x} + \frac{1}{x^2} \\ &= \frac{(1+x)\{\log(1+x)\}^2 - x^2}{x^2(1+x)\{\log(1+x)\}^2} \end{aligned} $$

(1)の右側の不等式より、$x > 0$ において $0 < \log(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}$ である。

各辺を2乗して $1+x \ (>0)$ を掛けると、

$$ (1+x)\{\log(1+x)\}^2 < x^2 $$

すなわち $(1+x)\{\log(1+x)\}^2 - x^2 < 0$ が成り立つので、$x > 0$ において $y' < 0$ となる。

よって、$y$ は単調に減少する。

次に、極限を調べる。$x \to \infty$ のとき、

$$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x} \right) = 0 $$

$x \to +0$ のとき、(1)の不等式から

$$ x - \frac{x^2}{2} < \log(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}} $$

各辺を $-1$ 倍して $x$ を加えると、

$$ x - \frac{x}{\sqrt{1+x}} < x - \log(1+x) < \frac{x^2}{2} $$

$x > 0$ において $x \log(1+x) > 0$ であるから、各辺を $x \log(1+x)$ で割ると、

$$ \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{1+x}}}{\log(1+x)} < \frac{x - \log(1+x)}{x\log(1+x)} < \frac{x}{2\log(1+x)} $$

ここで、$y = \frac{x - \log(1+x)}{x\log(1+x)}$ であり、右辺の極限は、

$$ \lim_{x \to +0} \frac{x}{2\log(1+x)} = \frac{1}{2} \lim_{x \to +0} \frac{1}{\frac{\log(1+x)}{x}} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

左辺の極限は、

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to +0} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{1+x}}}{\log(1+x)} &= \lim_{x \to +0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}\log(1+x)} \\ &= \lim_{x \to +0} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+1)\log(1+x)} \\ &= \lim_{x \to +0} \frac{x}{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+1)\log(1+x)} \\ &= \lim_{x \to +0} \frac{1}{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+1)} \cdot \frac{x}{\log(1+x)} \\ &= \frac{1}{1 \cdot 2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \end{aligned} $$

はさみうちの原理より、

$$ \lim_{x \to +0} y = \frac{1}{2} $$

$y$ は $x > 0$ において単調減少関数であるから、求める値の範囲は $0 < y < \frac{1}{2}$ となる。