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北海道大学 1992年理系第4問解説

方針・初手

関数 $f(t) = \frac{\log t}{t}$ を定義し、与えられた不等式を関数 $f$ を用いて表す。$x \geqq 2$ のとき $f(x) > 0$ であることに着目し、求める条件を $\frac{f(y)}{f(x)} \leqq C$ の形に帰着させる。その後、$2 \leqq x \leqq y$ の範囲で2変数関数 $\frac{f(y)}{f(x)}$ の最大値を求めるため、1変数を固定して考える。

解法1

関数 $f(t) = \frac{\log t}{t} \ (t \geqq 2)$ を考える。

$t$ について微分すると、

$$ f'(t) = \frac{\frac{1}{t} \cdot t - \log t \cdot 1}{t^2} = \frac{1 - \log t}{t^2} $$

$f'(t) = 0$ となるのは $\log t = 1$、すなわち $t = e$ のときである。$t \geqq 2$ における $f(t)$ の増減表は次のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} t & 2 & \cdots & e & \cdots \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - \\ \hline f(t) & \frac{\log 2}{2} & \nearrow & \frac{1}{e} & \searrow \end{array} $$

よって、$f(t)$ は $t = e$ で最大値 $\frac{1}{e}$ をとる。また、$t \geqq 2$ において $\log t > 0$ であるから、$f(t) > 0$ である。

与えられた条件 $P$ にある不等式は、次のように表せる。

$$ f(y) \leqq C f(x) $$

$2 \leqq x \leqq y$ のとき、$f(x) > 0$ であるから、両辺を $f(x)$ で割ると、条件 $P$ は次と同値になる。

$$ 2 \leqq x \leqq y を満たすすべての x, y に対して \frac{f(y)}{f(x)} \leqq C が成り立つ $$

これが成り立つような定数 $C$ の最小値は、$2 \leqq x \leqq y$ における $\frac{f(y)}{f(x)}$ の最大値である。

まず、$x$ を $x \geqq 2$ を満たす値として固定し、$y$ を $y \geqq x$ の範囲で動かしたときの $\frac{f(y)}{f(x)}$ の最大値を考える。分母 $f(x)$ は定数となるため、$f(y)$ の最大値を考えればよい。

(i) $2 \leqq x < e$ のとき

$y \geqq x$ の範囲には $y = e$ が含まれる。したがって、$y \geqq x$ における $f(y)$ の最大値は $f(e) = \frac{1}{e}$ である。このとき、$\frac{f(y)}{f(x)}$ の最大値を $g(x)$ とすると、

$$ g(x) = \frac{f(e)}{f(x)} = \frac{\frac{1}{e}}{\frac{\log x}{x}} = \frac{x}{e \log x} $$

(ii) $x \geqq e$ のとき

$y \geqq x \geqq e$ であり、この範囲で $f(t)$ は単調減少である。したがって、$y \geqq x$ における $f(y)$ の最大値は $y = x$ のときの $f(x)$ である。このとき、$\frac{f(y)}{f(x)}$ の最大値は、

$$ \frac{f(x)}{f(x)} = 1 $$

次に、$x$ を動かして全体の最大値を求める。

(i) の場合、$2 \leqq x < e$ における $g(x) = \frac{x}{e \log x}$ の最大値を調べる。微分すると、

$$ g'(x) = \frac{1 \cdot e \log x - x \cdot e \cdot \frac{1}{x}}{(e \log x)^2} = \frac{e (\log x - 1)}{(e \log x)^2} = \frac{\log x - 1}{e (\log x)^2} $$

$2 \leqq x < e$ において $\log x < 1$ であるから、$g'(x) < 0$ となる。すなわち、$g(x)$ は $2 \leqq x < e$ において単調減少である。したがって、$g(x)$ の最大値は $x = 2$ のときであり、

$$ g(2) = \frac{2}{e \log 2} $$

(ii) の場合、最大値は常に $1$ である。

ここで、$\frac{2}{e \log 2}$ と $1$ の大小を比較する。$f(t)$ の最大値が $f(e)$ であることから、$f(e) > f(2)$ が成り立つ。

$$ \frac{f(e)}{f(2)} > 1 $$

$$ \frac{2}{e \log 2} > 1 $$

以上より、$2 \leqq x \leqq y$ の範囲における $\frac{f(y)}{f(x)}$ の最大値は $\frac{2}{e \log 2}$ である（これは $x = 2, y = e$ のときにとる）。

ゆえに、条件 $P$ を満たす最小の定数 $C$ は $\frac{2}{e \log 2}$ である。

解説

2つの変数 $x, y$ が連動して動く不等式の成立条件や最大値・最小値を考える問題では、「1つの文字を固定して考える」アプローチが非常に有効である。本問では、$x \leqq y$ という制約があるため、まず $x$ を固定して $y$ だけを動かし、その後に $x$ を動かすという2段階の最大化を行うことで、論理的に漏れなく解を導くことができる。$x$ と $e$ の大小関係で場合分けが生じる点が重要である。