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北海道大学 1981年理系第3問解説

方針・初手

(1) 平面の方程式を決定するためには、「平面の法線ベクトル」と「平面が通る1点」を求める。求める平面は平面 $\pi$ と直交し、かつ直線 $l_1$ を含むため、その法線ベクトルは平面 $\pi$ の法線ベクトルおよび直線 $l_1$ の方向ベクトルの両方に垂直となる。
(2) 直線が平面 $\pi$ と直交することから、求める直線の方向ベクトルは平面 $\pi$ の法線ベクトルと平行である。2直線上の点をそれぞれパラメータ表示し、それらを結ぶベクトルが方向ベクトルと平行になるようなパラメータの値を求める。あるいは、2直線をそれぞれ含み平面 $\pi$ に直交する2つの平面を考え、その交線として求めることもできる。

解法1

(1)

平面 $\pi$ の法線ベクトルを $\vec{n}_{\pi}$ とする。$\pi: 3x + 2y + z = 1$ より、

$$ \vec{n}_{\pi} = (3, 2, 1) $$

である。直線 $l_1$ の方向ベクトルを $\vec{d}_1$ とすると、$l_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ より、

$$ \vec{d}_1 = (2, 3, 4) $$

である。

求める平面を $\alpha$ とし、その法線ベクトルを $\vec{n}_{\alpha} = (a, b, c)$ とする。平面 $\alpha$ は平面 $\pi$ と直交するので、$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{\pi} = 0$ より、

$$ 3a + 2b + c = 0 \quad \cdots \text{①} $$

また、平面 $\alpha$ は直線 $l_1$ を含むので、$\vec{n}_{\alpha}$ は $\vec{d}_1$ と垂直である。すなわち $\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{d}_1 = 0$ より、

$$ 2a + 3b + 4c = 0 \quad \cdots \text{②} $$

①より $c = -3a - 2b$。これを②に代入して、

$$ 2a + 3b + 4(-3a - 2b) = 0 $$

$$ -10a - 5b = 0 \iff b = -2a $$

このとき、$c = -3a - 2(-2a) = a$ となる。したがって、$\vec{n}_{\alpha} = (a, -2a, a) = a(1, -2, 1)$ と表せる。$a=1$ として、法線ベクトルの一つを $\vec{n}_{\alpha} = (1, -2, 1)$ と定める。

さらに、平面 $\alpha$ は直線 $l_1$ を含むので、$l_1$ 上の点 $(1, 2, 3)$ を通る。よって、平面 $\alpha$ の方程式は、

$$ 1 \cdot (x - 1) - 2 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 3) = 0 $$

$$ x - 2y + z = 0 $$

これが求める平面の方程式である。

(2)

求める直線を $l$ とする。$l$ は平面 $\pi$ と直交するため、$l$ の方向ベクトル $\vec{d}$ は平面 $\pi$ の法線ベクトル $\vec{n}_{\pi}$ に平行である。よって、$\vec{d} = (3, 2, 1)$ とすることができる。

$l_1$ 上の動点 $P$、$l_2$ 上の動点 $Q$ を実数 $s, t$ を用いて表す。 $l_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} = s$ とおくと、

$$ P(2s + 1, 3s + 2, 4s + 3) $$

$l_2: \frac{x}{2} = y+1 = z = t$ とおくと、

$$ Q(2t, t - 1, t) $$

直線 $l$ は $l_1, l_2$ と交わるので、これらの交点をそれぞれ $P, Q$ とすると、ベクトル $\vec{PQ}$ は $l$ の方向ベクトル $\vec{d}$ に平行である。したがって、実数 $k$ を用いて $\vec{PQ} = k\vec{d}$ と表せる。

$$ \vec{PQ} = (2t - 2s - 1, t - 3s - 3, t - 4s - 3) $$

であるから、各成分を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} 2t - 2s - 1 = 3k & \cdots \text{③} \\ t - 3s - 3 = 2k & \cdots \text{④} \\ t - 4s - 3 = k & \cdots \text{⑤} \end{cases} $$

④から⑤を辺々引くと、

$$ s = k $$

となる。これを④に代入して、

$$ t - 3k - 3 = 2k \iff t = 5k + 3 $$

これらを③に代入して、

$$ 2(5k + 3) - 2k - 1 = 3k $$

$$ 10k + 6 - 2k - 1 = 3k $$

$$ 8k + 5 = 3k \iff 5k = -5 \iff k = -1 $$

したがって、$s = -1$ であり、これを点 $P$ の座標の式に代入すると、

$$ P(2(-1) + 1, 3(-1) + 2, 4(-1) + 3) = (-1, -1, -1) $$

となる。

求める直線 $l$ は、点 $P(-1, -1, -1)$ を通り、方向ベクトルが $\vec{d} = (3, 2, 1)$ の直線であるから、その方程式は、

$$ \frac{x - (-1)}{3} = \frac{y - (-1)}{2} = \frac{z - (-1)}{1} $$

$$ \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = z + 1 $$

となる。

解法2

(2) の別解

直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\vec{d}_2 = (2, 1, 1)$ であり、$l_2$ は点 $(0, -1, 0)$ を通る。 (1)と同様に、平面 $\pi$ と直交し、直線 $l_2$ を含む平面を $\beta$ とし、その法線ベクトルを $\vec{n}_{\beta} = (p, q, r)$ とする。 $\vec{n}_{\beta}$ は $\vec{n}_{\pi} = (3, 2, 1)$ および $\vec{d}_2 = (2, 1, 1)$ の両方に垂直であるから、

$$ \begin{cases} 3p + 2q + r = 0 \\ 2p + q + r = 0 \end{cases} $$

上の式から下の式を引くと $p + q = 0 \iff q = -p$。これを下の式に代入して $2p - p + r = 0 \iff r = -p$。よって $\vec{n}_{\beta} = (p, -p, -p) = p(1, -1, -1)$ となる。$p = 1$ として $\vec{n}_{\beta} = (1, -1, -1)$ を採用する。

平面 $\beta$ は点 $(0, -1, 0)$ を通るので、その方程式は、

$$ 1 \cdot (x - 0) - 1 \cdot (y - (-1)) - 1 \cdot (z - 0) = 0 $$

$$ x - y - z - 1 = 0 $$

平面 $\pi$ と直交し、2直線 $l_1, l_2$ と交わる直線 $l$ は、「平面 $\pi$ と直交し、$l_1$ を含む平面 $\alpha$」上の任意の直線と「平面 $\pi$ と直交し、$l_2$ を含む平面 $\beta$」上の任意の直線の交線として定まる。すなわち、直線 $l$ は平面 $\alpha$ と平面 $\beta$ の交線である。

$\alpha$ の方程式は (1) より $x - 2y + z = 0$ であるから、交線上の点は連立方程式

$$ \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - y - z - 1 = 0 \end{cases} $$

を満たす。ここで $z = -1$ を代入すると、

$$ \begin{cases} x - 2y - 1 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} $$

これより $x = -1, y = -1$ を得る。よって、直線 $l$ は点 $(-1, -1, -1)$ を通る。また、直線 $l$ は平面 $\alpha$ 上にも平面 $\beta$ 上にもあるため、その方向ベクトル $\vec{u} = (u, v, w)$ は $\vec{n}_{\alpha} = (1, -2, 1)$ と $\vec{n}_{\beta} = (1, -1, -1)$ の両方に垂直である。

$$ \begin{cases} u - 2v + w = 0 \\ u - v - w = 0 \end{cases} $$

辺々足すと $2u - 3v = 0 \iff v = \frac{2}{3}u$。下の式より $w = u - v = u - \frac{2}{3}u = \frac{1}{3}u$。よって $\vec{u} = \left(u, \frac{2}{3}u, \frac{1}{3}u\right) = \frac{u}{3}(3, 2, 1)$ となり、$u=3$ として方向ベクトル $\vec{u} = (3, 2, 1)$ を得る。

したがって、点 $(-1, -1, -1)$ を通り、方向ベクトル $(3, 2, 1)$ の直線であるから、その方程式は、

$$ \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = z + 1 $$

となる。

解説

空間図形における直線と平面の方程式の扱いを問う標準的な問題である。
(1) 平面の方程式を決定するには、「法線ベクトル」と「通る1点」を見つけるのが基本である。法線ベクトルは、2つのベクトル（平面の法線ベクトルと直線の方向ベクトル）に垂直であるという条件から求められる。
(2) は2つのアプローチが考えられる。解法1のように「2直線上の動点を結ぶベクトル」を考える方法は、手順が機械的で汎用性が高い。一方、解法2のように「2つの平面の交線」として捉える方法は、空間の幾何学的な位置関係を俯瞰しており、連立方程式を解く量が少なく済む鮮やかな解法である。