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北海道大学 1998年理系第1問解説

方針・初手

2つの定円に接する円の中心の軌跡を求める問題である。まずは、円が他の円に接する条件を中心間の距離と半径の関係式に翻訳する。

「内側に含み接する（内接）」および「外側にあり接する（外接）」の条件から、中心間の距離を円 $C$ の半径 $r$ を用いて表す。この2つの式から $r$ を消去することで、2定点からの距離の差が一定になるという双曲線の定義に帰着させるのが初手となる。

解法1

(1)

円 $A, B$ の中心をそれぞれ $O_A(-2, 0), O_B(2, 0)$ とする。また、円 $C$ の中心を $P(x, y)$ とし、半径を $r$ とする。

円 $C$ は半径 $1$ の円 $A$ を内側に含み、かつ $A$ に接するので、中心間の距離 $O_A P$ について次の関係が成り立つ。

$$ O_A P = r - 1 $$

また、円 $C$ は半径 $1$ の円 $B$ の外側にあり、かつ $B$ に接するので、中心間の距離 $O_B P$ について次の関係が成り立つ。

$$ O_B P = r + 1 $$

これら2つの式から辺々引いて $r$ を消去すると、以下の式を得る。

$$ O_B P - O_A P = 2 $$

これは、点 $P$ が2定点 $O_A(-2, 0), O_B(2, 0)$ からの距離の差が $2$ である双曲線上にあることを示している。この双曲線の標準形を $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a>0, b>0$）とおく。焦点が $(\pm 2, 0)$ であり、距離の差が $2a = 2$ であることから、以下が成り立つ。

$$ a = 1, \quad \sqrt{a^2 + b^2} = 2 $$

これより $a^2 = 1, b^2 = 3$ となるため、双曲線の方程式は以下のようになる。

$$ x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 $$

さらに、$O_B P - O_A P = 2 > 0$ より $O_B P > O_A P$ であるから、点 $P$ は線分 $O_A O_B$ の垂直二等分線（$y$ 軸）よりも点 $O_A$ 側に存在する。すなわち、点 $P$ の $x$ 座標は負である。双曲線と $x$ 軸の交点は $(\pm 1, 0)$ であるため、$x \le -1$ となる。

よって、円 $C$ の中心の軌跡は以下の通りである。

$$ 双曲線 \ x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 \ の \ x \le -1 \ の部分 $$

(2)

円 $C$ が直線 $y = 2$ に接するとき、その半径 $r$ は中心 $P(x, y)$ と直線 $y = 2$ との距離に等しい。

$$ r = |y - 2| $$

また、(1) で用いた関係 $O_A P = r - 1$ より、半径 $r$ は次のように表せる。

$$ r = \sqrt{(x+2)^2 + y^2} + 1 $$

ここで、点 $P$ は (1) で求めた軌跡上にあるため、$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ より $y^2 = 3(x^2 - 1)$ が成り立つ。これを根号内に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} \sqrt{(x+2)^2 + y^2} &= \sqrt{(x^2 + 4x + 4) + 3(x^2 - 1)} \\ &= \sqrt{4x^2 + 4x + 1} \\ &= \sqrt{(2x+1)^2} \\ &= |2x + 1| \end{aligned} $$

点 $P$ の $x$ 座標の条件 $x \le -1$ より $2x + 1 < 0$ であるから、絶対値を外すと $|2x + 1| = -2x - 1$ となる。したがって、半径 $r$ は $x$ を用いて以下のように表される。

$$ r = (-2x - 1) + 1 = -2x $$

これと $r = |y - 2|$ を等置する。

$$ -2x = |y - 2| $$

$x \le -1$ より左辺は $-2x \ge 2 > 0$ であるため、両辺を2乗しても同値性は崩れない。

$$ 4x^2 = (y - 2)^2 $$

左辺の $x^2$ に軌跡の方程式から得られる $x^2 = \frac{y^2}{3} + 1$ を代入し、$y$ についての方程式にする。

$$ 4\left(\frac{y^2}{3} + 1\right) = y^2 - 4y + 4 $$

両辺を展開して整理する。

$$ \frac{4}{3}y^2 + 4 = y^2 - 4y + 4 $$

$$ \frac{1}{3}y^2 + 4y = 0 $$

$$ y(y + 12) = 0 $$

よって、$y = 0$ または $y = -12$ である。

(i) $y = 0$ のとき $x^2 = \frac{0}{3} + 1 = 1$ であり、$x \le -1$ を満たすのは $x = -1$。このとき、半径は $r = -2 \times (-1) = 2$ となる。

(ii) $y = -12$ のとき $x^2 = \frac{(-12)^2}{3} + 1 = \frac{144}{3} + 1 = 49$ であり、$x \le -1$ を満たすのは $x = -7$。このとき、半径は $r = -2 \times (-7) = 14$ となる。

以上より、求める半径の候補は条件をすべて満たしており、ともに適する。

解説

2つの円に接する円の中心の軌跡を考える典型問題である。内接・外接の条件から「中心間の距離と半径の関係」を立式し、そこから未知の半径 $r$ を消去することで、2定点（焦点）からの距離の差が一定であることを導き、双曲線の定義へと繋げる発想が求められる。軌跡全体ではなく、距離の大小関係から双曲線の片側の枝に限定される点に注意が必要である。

(2) では、双曲線上の点から焦点までの距離（焦点半径）が、$x$ の1次式として簡潔に表せるという二次曲線の重要な性質が現れている。この性質により根号を外すことができ、計算量が大幅に軽減される。