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北海道大学 2008年理系第2問解説

方針・初手

(1) は、数学的帰納法を用いて行列の成分についての性質を証明する。または、$A^{n+1}=A^nA$ という行列の積の定義から漸化式を導いて示す。
(2) は、(1) で得られた漸化式を用いて $a_n$ についての漸化式を導き、偶奇性を調べる。または、$a_{n+2}$ と $a_n$ の関係式を導いて帰納的に示す方法が有効である。一般項 $a_n$ を直接求めてから評価してもよい。

解法1

(1)

数学的帰納法を用いて証明する。

[1] $n=1$ のとき

$$ A^1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

より、$a_1=2, b_1=1, c_1=1, d_1=2$ である。したがって、$a_1=d_1$ かつ $b_1=c_1$ が成り立ち、$n=1$ のときは成立する。

[2] $n=k$ （$k$ は自然数）のとき、与えられた命題が成り立つと仮定する。

すなわち、$a_k=d_k$ かつ $b_k=c_k$ を仮定する。このとき、

$$ A^k = \begin{pmatrix} a_k & b_k \\ b_k & a_k \end{pmatrix} $$

と表せる。ここで、$A^{k+1} = A^k A$ より、

$$ \begin{aligned} A^{k+1} &= \begin{pmatrix} a_k & b_k \\ b_k & a_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2a_k+b_k & a_k+2b_k \\ 2b_k+a_k & b_k+2a_k \end{pmatrix} \end{aligned} $$

一方、定義より

$$ A^{k+1} = \begin{pmatrix} a_{k+1} & b_{k+1} \\ c_{k+1} & d_{k+1} \end{pmatrix} $$

であるから、各成分を比較して、

$$ \begin{cases} a_{k+1} = 2a_k + b_k \\ b_{k+1} = a_k + 2b_k \\ c_{k+1} = a_k + 2b_k \\ d_{k+1} = 2a_k + b_k \end{cases} $$

これより、$a_{k+1}=d_{k+1}$ かつ $b_{k+1}=c_{k+1}$ が成り立つため、$n=k+1$ のときも成立する。

[1], [2] より、すべての自然数 $n$ について $a_n=d_n$ と $b_n=c_n$ が成り立つ。（証明終）

(2)

(1) の証明中における $n=k$ を $n$ に置き換えた漸化式より、

$$ a_{n+1} = 2a_n + b_n \cdots ① $$

$$ b_{n+1} = a_n + 2b_n \cdots ② $$

が成り立つ。①$-$② より、

$$ a_{n+1} - b_{n+1} = a_n - b_n $$

したがって、数列 $\{a_n-b_n\}$ は初項 $a_1-b_1 = 2-1=1$、公比 $1$ の等比数列であるから、すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n - b_n = 1 \iff b_n = a_n - 1 $$

が成り立つ。これを①に代入して $b_n$ を消去すると、

$$ a_{n+1} = 2a_n + (a_n - 1) = 3a_n - 1 \cdots ③ $$

ここで、$a_{n+2}$ を $a_n$ を用いて表すと、

$$ a_{n+2} = 3a_{n+1} - 1 = 3(3a_n - 1) - 1 = 9a_n - 4 $$

$9a_n - 4 = 2(4a_n - 2) + a_n$ であり、$2(4a_n - 2)$ は偶数であるから、

$$ a_{n+2} \equiv a_n \pmod 2 $$

が成り立つ。すなわち、$a_n$ の偶奇は $n$ が $2$ 増えても変化せず、同じパリティをもつ。初項および第2項は、

$$ a_1 = 2 \equiv 0 \pmod 2 $$

$$ a_2 = 3a_1 - 1 = 5 \equiv 1 \pmod 2 $$

である。ゆえに、

$n$ が奇数のとき、$a_n \equiv a_1 \equiv 0 \pmod 2$ となり、$a_n$ は偶数である。
$n$ が偶数のとき、$a_n \equiv a_2 \equiv 1 \pmod 2$ となり、$a_n$ は奇数である。（証明終）

解法2

行列の対角化を用いて一般項を直接求める解法を示す。

(1)

行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、特性方程式は、

$$ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 $$

これを解いて $\lambda = 1, 3$ を得る。 $\lambda=3$ に対する固有ベクトルの一つを $\vec{p_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$、 $\lambda=1$ に対する固有ベクトルの一つを $\vec{p_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ とする。正則行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ を用いると、$P^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ であり、

$$ P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

と対角化できる。これより、$A = P \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} P^{-1}$ となり、$n$ 乗すると

$$ \begin{aligned} A^n &= P \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n & 1 \\ 3^n & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n+1 & 3^n-1 \\ 3^n-1 & 3^n+1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$ と各成分を比較して、

$$ a_n = \frac{3^n+1}{2}, \quad b_n = \frac{3^n-1}{2}, \quad c_n = \frac{3^n-1}{2}, \quad d_n = \frac{3^n+1}{2} $$

よって、$a_n = d_n$ と $b_n = c_n$ が成り立つ。（証明終）

(2)

(1) の結果より、$a_n = \frac{3^n+1}{2}$ である。すなわち $2a_n = 3^n + 1$ が成り立つ。ここで、$3 \equiv -1 \pmod 4$ を用いると、

$$ 2a_n = 3^n + 1 \equiv (-1)^n + 1 \pmod 4 $$

$n$ が奇数のとき $(-1)^n = -1$ より $2a_n \equiv 0 \pmod 4$ となる。すなわち、$2a_n$ は $4$ の倍数であるから、$a_n$ は偶数である。
$n$ が偶数のとき $(-1)^n = 1$ より $2a_n \equiv 2 \pmod 4$ となる。すなわち、$2a_n$ は $4$ で割ると $2$ 余る数であり、$2a_n = 4k + 2 = 2(2k+1)$ （$k$ は整数）と書ける。これより $a_n = 2k+1$ となり、$a_n$ は奇数である。（証明終）

解説

2次正方行列の $n$ 乗に関する標準的な問題である。(1) は帰納法で示すのが最も記述の負担が少ない。あるいは、今回のように $A$ が対角成分が等しい対称行列の形であることに着目してもよい。 (2) は数列の偶奇性に関する問題である。解法1のように、$a_{n+2}$ と $a_n$ の関係に帰着させると合同式（ $\pmod 2$ ）による処理が非常に簡明になる。解法2のように対角化によって一般項を求めた場合は、$a_n$ が分数で表されるため、分母を払った $2a_n$ の形に対して $\pmod 4$ を考えるのがポイントである。