九州大学 2013年 理系 第5問 解説

方針・初手

• ケーリー・ハミルトンの定理や、$2 \times 2$ 行列の平方 $M^2$ が対角行列となる条件を活用する。
• 一般に $2 \times 2$ 行列 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ について、$M^2$ が対角行列になる条件は、$M$ 自身が対角行列であるか、または $\text{tr}(M) = a+d = 0$ となることである。これを (1) のアプローチで用いる。
• (2) 以降は (1) の対偶または背理法を考え、$A^2 \neq E$ かつ $A^4 = E$ の条件から $t, x, y$ の関係式を絞り込んでいく。

解法1

(1)

$C = AB$ とおく。

$$ C = \begin{pmatrix} x & y \\ -t-x & -x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x - 6y & 4x - 5y \\ -5(t+x) + 6x & -4(t+x) + 5x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x - 6y & 4x - 5y \\ x - 5t & x - 4t \end{pmatrix} $$

$(AB)^2 = C^2$ が対角行列になる条件を考える。 一般に、行列 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ について、

$$ M^2 = \begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2 \end{pmatrix} $$

であるため、$M^2$ が対角行列となる条件は $b(a+d) = 0$ かつ $c(a+d) = 0$ である。 したがって、$a+d = 0$ すなわち $\text{tr}(M) = 0$、または $b=c=0$（$M$ 自身が対角行列）のいずれかが成り立つ。

ここで、$C$ のトレース $\text{tr}(C)$ を計算すると、

$$ \text{tr}(C) = (5x - 6y) + (x - 4t) = 6x - 6y - 4t = 2(3x - 3y - 2t) $$

仮定より $3x - 3y - 2t \neq 0$ であるから、$\text{tr}(C) \neq 0$ である。 したがって、$C^2$ が対角行列となるためには、$C$ 自身が対角行列でなければならない。 よって、

$$ 4x - 5y = 0 \quad \text{かつ} \quad x - 5t = 0 $$

これより、$x = 5t$、$y = 4t$ を得る。 このとき行列 $A$ は、

$$ A = \begin{pmatrix} 5t & 4t \\ -t-5t & -5t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5t & 4t \\ -6t & -5t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} = tB $$

となり、命題は証明された。

(2)

$3x - 3y - 2t \neq 0$ と仮定して矛盾を導く（背理法）。

仮定より、(1) の結果から $A = tB$ が成り立つ。 ここで $B^2$ を計算すると、

$$ B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25-24 & 20-20 \\ -30+30 & -24+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$

よって、$A^2 = (tB)^2 = t^2 B^2 = t^2 E$ である。 さらに、$A^4 = (A^2)^2 = (t^2 E)^2 = t^4 E$ となる。

問題の条件 $A^4 = E$ より、$t^4 E = E$、すなわち $t^4 = 1$ を得る。 $t$ は実数であるから、$t = 1$ または $t = -1$ である。 このとき、$A^2 = (\pm 1)^2 E = E$ となるが、これは条件 $A^2 \neq E$ に矛盾する。 したがって、$3x - 3y - 2t = 0$ が成り立つ。

(3)

$A$ のトレースは $\text{tr}(A) = x + (-x) = 0$ である。 ケーリー・ハミルトンの定理より、$A^2 - \text{tr}(A)A + |A|E = O$ であるから、

$$ A^2 = -|A|E = -(-x^2 - y(-t-x))E = (x^2 - xy - yt)E $$

条件 $A^4 = E$ より、$(x^2 - xy - yt)^2 E = E$ となるため、

$$ (x^2 - xy - yt)^2 = 1 $$

すなわち $x^2 - xy - yt = 1$ または $x^2 - xy - yt = -1$ である。 もし $x^2 - xy - yt = 1$ ならば $A^2 = E$ となり、条件 $A^2 \neq E$ に反する。 よって、

$$ x^2 - xy - yt = -1 \quad \cdots ① $$

一方、(2) より $3x - 3y - 2t = 0$ であるから、$y = x - \frac{2}{3}t$ となる。 これを①に代入して整理する。

$$ x^2 - x\left(x - \frac{2}{3}t\right) - t\left(x - \frac{2}{3}t\right) = -1 $$

$$ x^2 - x^2 + \frac{2}{3}tx - tx + \frac{2}{3}t^2 = -1 $$

$$ -\frac{1}{3}tx + \frac{2}{3}t^2 = -1 $$

両辺に $-3$ を掛けて、

$$ tx - 2t^2 = 3 $$

$t=0$ とすると $0=3$ となり不適であるから、$t \neq 0$。 よって、

$$ x = 2t + \frac{3}{t} $$

また、$y$ は、

$$ y = x - \frac{2}{3}t = 2t + \frac{3}{t} - \frac{2}{3}t = \frac{4}{3}t + \frac{3}{t} $$

(4)

(3) の途中結果 $tx - 2t^2 = 3$ より、

$$ t(x - 2t) = 3 $$

$x, t$ は整数であるから、$x-2t$ も整数である。 よって、$t$ は $3$ の約数であり、$t = 1, -1, 3, -3$ のいずれかである。 それぞれの $t$ について $y$ が整数となるか調べる。

(i) $t = 1$ のとき $x - 2(1) = 3$ より $x = 5$。 $3x - 3y - 2t = 0$ に代入して、$15 - 3y - 2 = 0 \implies 3y = 13$ となり、$y$ は整数でないため不適。

(ii) $t = -1$ のとき $x - 2(-1) = -3$ より $x = -5$。 $3(-5) - 3y - 2(-1) = 0 \implies 3y = -13$ となり、$y$ は整数でないため不適。

(iii) $t = 3$ のとき $x - 2(3) = 1$ より $x = 7$。 $3(7) - 3y - 2(3) = 0 \implies 3y = 15 \implies y = 5$。 これは $x, y$ ともに整数となり適する。 このとき、行列 $A$ は、

$$ A = \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ -3-7 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ -10 & -7 \end{pmatrix} $$

(iv) $t = -3$ のとき $x - 2(-3) = -1$ より $x = -7$。 $3(-7) - 3y - 2(-3) = 0 \implies 3y = -15 \implies y = -5$。 これも $x, y$ ともに整数となり適する。 このとき、行列 $A$ は、

$$ A = \begin{pmatrix} -7 & -5 \\ -(-3)-(-7) & -(-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -5 \\ 10 & 7 \end{pmatrix} $$

以上より、求める行列 $A$ が決定する。

解説

• ケーリー・ハミルトンの定理を用いて $A^2$ を1次以下の式で表すことが定石である。本問では $\text{tr}(A) = 0$ であるため $A^2$ が直ちに単位行列の実数倍となることがポイントとなる。
• $2 \times 2$ 行列の平方 $M^2$ が対角行列となる条件は、$M$ 自身が対角行列であるか、または $\text{tr}(M) = 0$ となることである。この事実は頻出であり、計算量を大きく減らすことができる。
• 整数の組を求める問題では、積の形 $= \text{定数}$ を作り、約数の候補から絞り込む手法が有効である。

答え

(1) 命題は真である。（証明は解法1を参照） (2) （証明は解法1を参照） (3) $x = 2t + \frac{3}{t}, \quad y = \frac{4}{3}t + \frac{3}{t}$ (4) $A = \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ -10 & -7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -7 & -5 \\ 10 & 7 \end{pmatrix}$