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北海道大学 2010年理系第4問解説

方針・初手

(1) は $e^t$ と多項式の積の不定積分であるため、部分積分法を用いて多項式の次数を下げて計算する。

(2) は積分変数 $t$ を含む絶対値の積分である。$0 \leqq x \leqq 1$ および積分区間 $0 \leqq t \leqq 1$ に注意し、$t$ と $x$ の大小関係によって積分区間を $0 \leqq t \leqq x$ と $x \leqq t \leqq 1$ に分割し、絶対値記号を外す。

(3) は (2) で求めた $f(x)$ を微分し、$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ となること、および $x = \frac{1}{2}$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変化することを示す。関数が複雑なため、$x=\frac{1}{2}$ を中心とした対称性を利用して調べるのが見通しが良い。

解法1

(1)

$I_1$ について、部分積分法を用いると、 $$ I_1 = \int t (e^t)' dt = t e^t - \int 1 \cdot e^t dt = t e^t - e^t + C_1 = (t-1)e^t + C_1 \quad (C_1\text{ は積分定数}) $$

$I_2$ についても同様に部分積分法を用いると、 $$ I_2 = \int t^2 (e^t)' dt = t^2 e^t - \int 2t e^t dt = t^2 e^t - 2 I_1 $$ $$ = t^2 e^t - 2(t-1)e^t + C_2 = (t^2 - 2t + 2)e^t + C_2 \quad (C_2\text{ は積分定数}) $$

(2)

$f(x) = \int_{0}^{1} e^{-|t-x|} t(1-t) dt$ について考える。

積分変数は $t$ であり、区間は $0 \leqq t \leqq 1$ である。$0 \leqq x \leqq 1$ より、積分区間を $0 \leqq t \leqq x$ と $x \leqq t \leqq 1$ に分割して絶対値を外す。

$0 \leqq t \leqq x$ のとき、$t-x \leqq 0$ より $|t-x| = -(t-x) = x-t$ となるから、 $e^{-|t-x|} = e^{-(x-t)} = e^{-x} e^t$ である。

$x \leqq t \leqq 1$ のとき、$t-x \geqq 0$ より $|t-x| = t-x$ となるから、 $e^{-|t-x|} = e^{-(t-x)} = e^x e^{-t}$ である。

したがって、$f(x)$ は次のように変形できる。 $$ f(x) = \int_{0}^{x} e^{-x} e^t (t-t^2) dt + \int_{x}^{1} e^x e^{-t} (t-t^2) dt $$ $$ = e^{-x} \int_{0}^{x} (t-t^2) e^t dt + e^x \int_{x}^{1} (t-t^2) e^{-t} dt $$

ここで、第1項の定積分について、(1) の結果を利用して不定積分を求めると、 $$ \int (t-t^2) e^t dt = I_1 - I_2 = (t-1)e^t - (t^2-2t+2)e^t = (-t^2+3t-3)e^t + C $$ となるから、 $$ \int_{0}^{x} (t-t^2) e^t dt = \left[ (-t^2+3t-3)e^t \right]_0^x = (-x^2+3x-3)e^x - (-3) = (-x^2+3x-3)e^x + 3 $$ である。

次に、第2項の定積分について、不定積分を部分積分法により求めると、 $$ \int t e^{-t} dt = t(-e^{-t}) - \int 1 \cdot (-e^{-t}) dt = -te^{-t} - e^{-t} + C = -(t+1)e^{-t} + C $$ $$ \int t^2 e^{-t} dt = t^2(-e^{-t}) - \int 2t(-e^{-t}) dt = -t^2e^{-t} + 2 \int t e^{-t} dt = -t^2e^{-t} - 2(t+1)e^{-t} + C = -(t^2+2t+2)e^{-t} + C $$ これらより、 $$ \int (t-t^2) e^{-t} dt = -(t+1)e^{-t} - \{ -(t^2+2t+2)e^{-t} \} = (t^2+t+1)e^{-t} + C $$ となるから、 $$ \int_{x}^{1} (t-t^2) e^{-t} dt = \left[ (t^2+t+1)e^{-t} \right]_x^1 = 3e^{-1} - (x^2+x+1)e^{-x} $$ である。

これらを $f(x)$ の式に代入すると、 $$ f(x) = e^{-x} \left\{ (-x^2+3x-3)e^x + 3 \right\} + e^x \left\{ 3e^{-1} - (x^2+x+1)e^{-x} \right\} $$ $$ = -x^2+3x-3 + 3e^{-x} + 3e^{x-1} - (x^2+x+1) $$ $$ = -2x^2+2x-4 + 3e^{-x} + 3e^{x-1} $$

(3)

(2) より、$f(x) = -2x^2+2x-4 + 3e^{-x} + 3e^{x-1}$ である。 $x$ について微分すると、 $$ f'(x) = -4x+2 - 3e^{-x} + 3e^{x-1} $$ であり、$f'\left(\frac{1}{2}\right) = -2+2 - 3e^{-\frac{1}{2}} + 3e^{-\frac{1}{2}} = 0$ が成り立つ。

$f(x)$ が $x=\frac{1}{2}$ で極大となることを示すため、$x=\frac{1}{2}$ の前後での $f'(x)$ の符号変化を調べる。 $x = u + \frac{1}{2}$ とおき、$g(u) = f'\left(u + \frac{1}{2}\right)$ とする。$0 \leqq x \leqq 1$ より $-\frac{1}{2} \leqq u \leqq \frac{1}{2}$ である。 $$ g(u) = -4\left(u + \frac{1}{2}\right) + 2 - 3e^{-\left(u+\frac{1}{2}\right)} + 3e^{\left(u+\frac{1}{2}\right)-1} $$ $$ = -4u - 3e^{-u}e^{-\frac{1}{2}} + 3e^u e^{-\frac{1}{2}} $$ $$ = -4u + \frac{3}{\sqrt{e}}(e^u - e^{-u}) $$ $g(-u) = 4u + \frac{3}{\sqrt{e}}(e^{-u} - e^u) = -g(u)$ であるから、$g(u)$ は奇関数である。したがって、$0 < u \leqq \frac{1}{2}$ において $g(u) < 0$ であることを示せばよい。

$g(u)$ を $u$ で微分すると、 $$ g'(u) = -4 + \frac{3}{\sqrt{e}}(e^u + e^{-u}) $$ $$ g''(u) = \frac{3}{\sqrt{e}}(e^u - e^{-u}) $$ $u > 0$ において、$e^u > 1 > e^{-u}$ であるから $g''(u) > 0$ が成り立つ。よって、$g'(u)$ は $u \geqq 0$ において単調に増加する。

ここで、自然対数の底 $e = 2.718\cdots$ について $e > 2.25 = 1.5^2$ より $\sqrt{e} > 1.5$ であるから、 $$ g'(0) = -4 + \frac{6}{\sqrt{e}} < -4 + \frac{6}{1.5} = 0 $$ である。また、 $$ g'\left(\frac{1}{2}\right) = -4 + \frac{3}{\sqrt{e}}\left(\sqrt{e} + \frac{1}{\sqrt{e}}\right) = -4 + 3 + \frac{3}{e} = -1 + \frac{3}{e} $$ であり、$e < 3$ より $\frac{3}{e} > 1$ であるから、$g'\left(\frac{1}{2}\right) > 0$ である。

したがって、$g'(\alpha) = 0$ を満たす $\alpha$ が $0 < \alpha < \frac{1}{2}$ の範囲にただ1つ存在する。これより、$g(u)$ は $0 \leqq u \leqq \alpha$ で単調に減少し、$\alpha \leqq u \leqq \frac{1}{2}$ で単調に増加することがわかる。 $g(0) = 0$ であるから、$0 < u \leqq \alpha$ において $g(u) < 0$ である。

さらに、区間の右端 $u = \frac{1}{2}$ における $g(u)$ の値を調べると、 $$ g\left(\frac{1}{2}\right) = -4 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{\sqrt{e}}\left(\sqrt{e} - \frac{1}{\sqrt{e}}\right) = -2 + 3 - \frac{3}{e} = 1 - \frac{3}{e} $$ $e < 3$ より $\frac{3}{e} > 1$ であるから、$g\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ である。区間 $\alpha \leqq u \leqq \frac{1}{2}$ において $g(u)$ は単調増加であり、その最大値である $g\left(\frac{1}{2}\right)$ が負であるため、この区間でも $g(u) < 0$ が成り立つ。

以上より、$0 < u \leqq \frac{1}{2}$ において常に $g(u) < 0$ であることが示された。奇関数の性質から $-\frac{1}{2} \leqq u < 0$ においては $g(u) > 0$ となる。変数 $x$ に戻すと、$x < \frac{1}{2}$ において $f'(x) > 0$ であり、$x > \frac{1}{2}$ において $f'(x) < 0$ となる。したがって、$f(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ で極大となる。

解説

絶対値を含む関数の定積分についての典型問題であるが、計算量が多く正確な処理が求められる。(1)の誘導をうまく使い、部分積分の計算ミスを防ぐことが重要である。 (3)では、極大値をとることの証明として、単に $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ を示すだけでなく、その前後での符号変化を厳密に示す必要がある。$f'(x)$ の符号変化を直接調べるのが困難な場合、$x=\frac{1}{2}$ を原点に平行移動して奇関数の性質を利用する、あるいはさらに微分して単調性を調べるなどの工夫が有効となる。本解答では、平行移動によって奇関数であることを導き、$e=2.718\cdots$ という近似値の情報を活用して増減を論理的に追っている。