東京大学 2007年 理系 第2問 解説

方針・初手

• 2つの角が一定であることから、三角形 $\triangle OP_{k-1}P_k$ がすべて相似であることに気づくのが第一歩である。
• 相似比から数列 $a_k$ が等比数列になることを見抜き、$s_n$ を等比数列の和の公式で計算する。
• 極限計算においては自然対数の底 $e$ の定義と、三角関数の極限 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ に帰着させる。

解法1

条件①より、任意の $k$ ($1 \leqq k \leqq n$) について、

$$ \angle P_{k-1}OP_k = \frac{\pi}{n} $$

であり、これは $k$ によらず一定である。 また、$2 \leqq k \leqq n$ において、

$$ \angle OP_{k-1}P_k = \angle OP_0P_1 $$

である。 2組の角がそれぞれ等しいことから、

$$ \triangle OP_0P_1 \sim \triangle OP_1P_2 \sim \cdots \sim \triangle OP_{k-1}P_k \sim \cdots \sim \triangle OP_{n-1}P_n $$

が成り立つ。

この相似関係から、隣り合う三角形の相似比は、

$$ \frac{OP_k}{OP_{k-1}} = \frac{OP_1}{OP_0} $$

である。条件②より $OP_0 = 1, OP_1 = 1 + \frac{1}{n}$ であるから、相似比は $1 + \frac{1}{n}$ となる。

したがって、対応する辺の長さである $a_k = P_{k-1}P_k$ は、初項 $a_1 = P_0P_1$、公比 $1 + \frac{1}{n}$ の等比数列となる。 すなわち、

$$ a_k = a_1 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{k-1} $$

と表せる。

求める和 $s_n$ はこの等比数列の初項から第 $n$ 項までの和であるから、

$$ s_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{a_1 \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n - 1 \right\}}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right) - 1} = n a_1 \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n - 1 \right\} $$

となる。

ここで、$n \to \infty$ としたときの $s_n$ の極限を考える。 自然対数の底 $e$ の定義から、

$$ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e $$

である。 次に、$\lim_{n \to \infty} n a_1$ を求める。 $\triangle OP_0P_1$ において余弦定理を用いると、

$$ a_1^2 = OP_0^2 + OP_1^2 - 2 OP_0 OP_1 \cos \frac{\pi}{n} $$

$$ a_1^2 = 1^2 + \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \cos \frac{\pi}{n} $$

これを $n^2 a_1^2$ として計算する。

$$ n^2 a_1^2 = n^2 \left\{ 1 + \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 - 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \cos \frac{\pi}{n} \right\} $$

$$ = n^2 \left\{ 2 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} - 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \cos \frac{\pi}{n} \right\} $$

$$ = n^2 \left\{ 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) + \frac{1}{n^2} \right\} $$

$$ = 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right) n^2 \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) + 1 $$

ここで、半角の公式 $1 - \cos \frac{\pi}{n} = 2 \sin^2 \frac{\pi}{2n}$ を用いると、

$$ n^2 \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) = n^2 \cdot 2 \sin^2 \frac{\pi}{2n} = 2 n^2 \left( \frac{\pi}{2n} \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}} \right)^2 = \frac{\pi^2}{2} \left( \frac{\sin \frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}} \right)^2 $$

となる。 $n \to \infty$ のとき $\frac{\pi}{2n} \to 0$ であるから、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ より、

$$ \lim_{n \to \infty} n^2 \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) = \frac{\pi^2}{2} \cdot 1^2 = \frac{\pi^2}{2} $$

である。

したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} n^2 a_1^2 = \lim_{n \to \infty} \left\{ 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \cdot n^2 \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) + 1 \right\} = 2 \cdot (1 + 0) \cdot \frac{\pi^2}{2} + 1 = \pi^2 + 1 $$

$n a_1 > 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} n a_1 = \sqrt{\pi^2 + 1} $$

となる。

以上より、求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} n a_1 \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n - 1 \right\} = \sqrt{\pi^2 + 1} (e - 1) $$

である。

解説

• 本問は、与えられた角度の条件から三角形の相似を見抜き、等比数列の和を構築する幾何と数列の融合問題である。
• 計算過程で $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$ という自然対数の底の定義と、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ という三角関数の極限の基本公式を両方とも用いる点で、極限の総合的な計算力が問われている。
• $n a_1$ の極限計算では、そのまま扱うのではなく二乗の形である $n^2 a_1^2$ の極限を考えると、根号の処理を後回しにできるため見通しよく計算できる。$1 - \cos \theta$ の形を見たら $\theta^2$ で割って極限をとる定石を確実に実行したい。

答え

$$ \sqrt{\pi^2 + 1} (e - 1) $$