北海道大学 2016年 理系 第2問 解説

方針・初手

定積分を含んだ方程式の問題である。積分区間 $[-a, a]$ は変数 $x$ を含んでいないため、$\int_{-a}^{a} f(t)\sin t dt$ は定数として扱うことができる。これが積分方程式における「定数置き換え」の典型的な解法である。

(1) では、まず右辺の第1項にある $x$ の式を積分の外にくくり出し、残りの定積分を定数 $C$ とおいて $f(x)$ を $C$ を用いて表す。その後、$C$ の定義式に $f(t)$ を代入して $C$ の値を決定する。

(2) では、(1) で考えた定数 $C$ がそのまま $g(a)$ となるため、求めた $g(a)$ の式を $a$ で微分し、増減表を書いて最小値を求める。

解法1

(1)

与えられた等式は次のように変形できる。

$$ f(x) = \frac{e^{-x}}{2a} \int_{-a}^{a} dt + \int_{-a}^{a} f(t)\sin t dt $$

ここで、第1項の定積分を計算すると、

$$ \int_{-a}^{a} dt = \left[ t \right]_{-a}^{a} = 2a $$

となるため、

$$ f(x) = e^{-x} + \int_{-a}^{a} f(t)\sin t dt $$

と表せる。第2項の定積分は定数であるから、これを $C$ とおく。

$$ C = \int_{-a}^{a} f(t)\sin t dt $$

このとき、$f(x)$ は次のように表される。

$$ f(x) = e^{-x} + C $$

これを $C$ の定義式に代入して $C$ の値を求める。

$$ C = \int_{-a}^{a} (e^{-t} + C)\sin t dt $$

$$ C = \int_{-a}^{a} e^{-t}\sin t dt + \int_{-a}^{a} C\sin t dt $$

ここで、$C\sin t$ は奇関数であり、積分区間が原点対称な $[-a, a]$ であるため、

$$ \int_{-a}^{a} C\sin t dt = 0 $$

となる。したがって、

$$ C = \int_{-a}^{a} e^{-t}\sin t dt $$

この定積分を部分積分法により計算する。

$$ \begin{aligned} \int e^{-t}\sin t dt &= -e^{-t}\sin t - \int (-e^{-t})\cos t dt \\ &= -e^{-t}\sin t + \int e^{-t}\cos t dt \\ &= -e^{-t}\sin t + \left( -e^{-t}\cos t - \int (-e^{-t})(-\sin t) dt \right) \\ &= -e^{-t}(\sin t + \cos t) - \int e^{-t}\sin t dt \end{aligned} $$

これを整理して、

$$ 2\int e^{-t}\sin t dt = -e^{-t}(\sin t + \cos t) $$

$$ \int e^{-t}\sin t dt = -\frac{1}{2}e^{-t}(\sin t + \cos t) $$

よって、$C$ の値は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} C &= \left[ -\frac{1}{2}e^{-t}(\sin t + \cos t) \right]_{-a}^{a} \\ &= -\frac{1}{2} \left\{ e^{-a}(\sin a + \cos a) - e^{a}(\sin(-a) + \cos(-a)) \right\} \\ &= -\frac{1}{2} \left\{ e^{-a}(\sin a + \cos a) - e^{a}(-\sin a + \cos a) \right\} \\ &= -\frac{1}{2} \left\{ (e^{-a} + e^{a})\sin a + (e^{-a} - e^{a})\cos a \right\} \\ &= \frac{1}{2}(e^{a} - e^{-a})\cos a - \frac{1}{2}(e^{a} + e^{-a})\sin a \end{aligned} $$

以上より、求める関数 $f(x)$ は次のように定まる。

$$ f(x) = e^{-x} + \frac{1}{2}(e^{a} - e^{-a})\cos a - \frac{1}{2}(e^{a} + e^{-a})\sin a $$

(2)

(1) の計算過程より、$g(a)$ は $C$ に等しく、以下の式で与えられる。

$$ g(a) = \int_{-a}^{a} e^{-t}\sin t dt = \frac{1}{2}(e^{a} - e^{-a})\cos a - \frac{1}{2}(e^{a} + e^{-a})\sin a $$

$g(a)$ の最小値を求めるために、$a$ について微分する。導関数は定積分の微分により直接求めることができる。被積分関数の原始関数の一つを $H(t)$ とすると、$H'(t) = e^{-t}\sin t$ であり、

$$ g(a) = H(a) - H(-a) $$

と表せるから、両辺を $a$ で微分して、

$$ \begin{aligned} g'(a) &= H'(a) \cdot (a)' - H'(-a) \cdot (-a)' \\ &= H'(a) + H'(-a) \\ &= e^{-a}\sin a + e^{-(-a)}\sin(-a) \\ &= e^{-a}\sin a - e^{a}\sin a \\ &= (e^{-a} - e^{a})\sin a \end{aligned} $$

$0 < a \leqq 2\pi$ において、$a > 0$ であるから $e^{-a} < 1 < e^{a}$ となり、常に $e^{-a} - e^{a} < 0$ である。

したがって、$g'(a)$ の符号は $-\sin a$ の符号と一致する。

$g'(a) = 0$ となる $a$ の値は、$\sin a = 0$ より $a = \pi, 2\pi$ である。

これをもとに $0 < a \leqq 2\pi$ における増減表をかくと、次のようになる。

$a$	$(0)$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$2\pi$
$g'(a)$		$-$	$0$	$+$	$0$
$g(a)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$g(a)$ は $a = \pi$ のとき最小値をとる。そのときの最小値は、

$$ \begin{aligned} g(\pi) &= \frac{1}{2}(e^{\pi} - e^{-\pi})\cos \pi - \frac{1}{2}(e^{\pi} + e^{-\pi})\sin \pi \\ &= \frac{1}{2}(e^{\pi} - e^{-\pi}) \cdot (-1) - 0 \\ &= \frac{e^{-\pi} - e^{\pi}}{2} \end{aligned} $$

解説

(1) は定積分で表された関数の基本的な問題である。積分変数が $t$ であるため、被積分関数に含まれる $e^{-x}$ は定数として積分の外に出すことができる点に注意する。$\int_{-a}^{a} f(t)\sin t dt$ を定数でおくことで活路が開ける。部分積分を用いた $\int e^{-t}\sin t dt$ の計算は頻出であるため、正確かつ迅速に処理できるようにしておきたい。

(2) では $g(a) = \int_{-a}^{a} e^{-t}\sin t dt$ の導関数 $g'(a)$ を求める際、(1) で求めた $g(a)$ の式を直接微分してもよいが、解説に示したように定積分の微分公式を用いると計算量を大幅に減らすことができ、計算ミスも防ぎやすい。積分の下端にも変数 $a$ が含まれるため、合成関数の微分に注意して符号を間違えないようにする必要がある。

答え

(1)

$$ f(x) = e^{-x} + \frac{1}{2}(e^{a} - e^{-a})\cos a - \frac{1}{2}(e^{a} + e^{-a})\sin a $$

(2)

$a = \pi$ のとき、最小値 $\frac{e^{-\pi} - e^{\pi}}{2}$