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北海道大学 2018年理系第4問解説

方針・初手

(1) 与えられた2つの不等式 $BQ \geqq OQ$ と $OQ \geqq 2AQ$ をそれぞれ2乗し、点 $Q(x, y)$ の座標に関する不等式を立てて整理する。これにより、領域 $D$ を表す2つの図形（直線と円）の方程式を導き、それらの位置関係を調べる。

(2) 条件 $OQ \geqq PQ$ についても両辺を2乗して整理し、点 $Q(x, y)$ が満たすべき不等式（領域）を求める。この領域と(1)で求めた領域 $D$ が共有点を持つような $p$ の範囲を求める。これは、領域 $D$ における一次関数 $2px+22y$ の最大値を考える線形計画法の問題に帰着できる。

解法1

(1) 点 $Q$ の座標を $(x, y)$ とする。 $BQ \geqq OQ$ の両辺は正であるから、両辺を2乗して整理する。

$$ BQ^2 \geqq OQ^2 $$

$$ (x - 11)^2 + (y - 11)^2 \geqq x^2 + y^2 $$

$$ x^2 - 22x + 121 + y^2 - 22y + 121 \geqq x^2 + y^2 $$

$$ -22x - 22y + 242 \geqq 0 $$

$$ x + y \leqq 11 $$

これを満たす領域を $D_1$ とする。次に、$OQ \geqq 2AQ$ の両辺も正であるから、両辺を2乗して整理する。

$$ OQ^2 \geqq 4AQ^2 $$

$$ x^2 + y^2 \geqq 4 \left( \left(x - \frac{15}{2}\right)^2 + y^2 \right) $$

$$ x^2 + y^2 \geqq 4 \left( x^2 - 15x + \frac{225}{4} + y^2 \right) $$

$$ x^2 + y^2 \geqq 4x^2 - 60x + 225 + 4y^2 $$

$$ 3x^2 - 60x + 3y^2 + 225 \leqq 0 $$

$$ x^2 - 20x + y^2 + 75 \leqq 0 $$

$$ (x - 10)^2 + y^2 \leqq 25 $$

これを満たす領域を $D_2$ とする。これは、中心 $(10, 0)$、半径 $5$ の円およびその内部である。領域 $D$ は、$D_1$ と $D_2$ の共通部分である。境界となる直線 $l : x + y = 11$ と円 $C : (x - 10)^2 + y^2 = 25$ の交点を求める。 $y = -x + 11$ を円 $C$ の方程式に代入する。

$$ (x - 10)^2 + (-x + 11)^2 = 25 $$

$$ (x - 10)^2 + (x - 11)^2 = 25 $$

$$ x^2 - 20x + 100 + x^2 - 22x + 121 = 25 $$

$$ 2x^2 - 42x + 196 = 0 $$

$$ x^2 - 21x + 98 = 0 $$

$$ (x - 7)(x - 14) = 0 $$

これを解くと、$x = 7, 14$ を得る。 $x = 7$ のとき $y = 4$ であり、$x = 14$ のとき $y = -3$ である。したがって、交点の座標は $(7, 4)$ と $(14, -3)$ である。領域 $D$ は、円 $C$ の周および内部のうち、直線 $l$ の左下側の部分（境界を含む）として図示できる。

また、$BQ = OQ = 2AQ$ となる点 $Q$ は、直線 $l$ と円 $C$ の交点に他ならない。よって、求める点 $Q$ の座標は $(7, 4)$ および $(14, -3)$ である。

(2) $0 < p \leqq 11$ とする。条件 $OQ \geqq PQ$ の両辺を2乗して整理する。

$$ OQ^2 \geqq PQ^2 $$

$$ x^2 + y^2 \geqq (x - p)^2 + (y - 11)^2 $$

$$ x^2 + y^2 \geqq x^2 - 2px + p^2 + y^2 - 22y + 121 $$

$$ 2px + 22y \geqq p^2 + 121 $$

この不等式を満たす $D$ の点 $Q(x, y)$ が存在するための条件は、領域 $D$ における関数 $f(x, y) = 2px + 22y$ の最大値が $p^2 + 121$ 以上となることである。 $2px + 22y = k$ とおくと、これは傾きが $-\frac{p}{11}$、 $y$ 切片が $\frac{k}{22}$ の直線を表す。 $0 < p \leqq 11$ より、この直線の傾きは $-1 \leqq -\frac{p}{11} < 0$ の範囲にある。境界の直線 $l : x + y = 11$ の傾きは $-1$ であるため、領域 $D$ の図形的な形状から、円 $C$ の弧上の接点か、または交点 $(7, 4)$ のいずれかで最大値をとる。

円 $C$ 上で $2px + 22y$ が最大となる接点 $(x_0, y_0)$ を調べる。中心 $(10, 0)$ と直線の距離の条件から、接点は以下のように求まる（またはコーシー・シュワルツの不等式などを利用する）。

$$ x_0 = 10 + \frac{5p}{\sqrt{p^2 + 121}}, \quad y_0 = \frac{55}{\sqrt{p^2 + 121}} $$

この接点が領域 $D$ の内部または境界にあるか、すなわち $x_0 + y_0 \leqq 11$ を満たすかを確認する。

$$ x_0 + y_0 = 10 + \frac{5(p + 11)}{\sqrt{p^2 + 121}} $$

ここで、$p > 0$ であるため、$\sqrt{p^2 + 121} < \sqrt{p^2 + 22p + 121} = p + 11$ が成り立つ。したがって、$\frac{p + 11}{\sqrt{p^2 + 121}} > 1$ となるため、次が成り立つ。

$$ x_0 + y_0 > 10 + 5 \cdot 1 = 15 > 11 $$

よって、この接点は常に領域 $D$ の外部（直線 $l$ の右上側）に存在する。以上より、領域 $D$ において関数 $f(x, y)$ は円の弧上で最大値をとることはなく、境界の交点 $(7, 4)$ で最大値をとることが分かる。

点 $(7, 4)$ のとき、

$$ f(7, 4) = 2p \cdot 7 + 22 \cdot 4 = 14p + 88 $$

この最大値が $p^2 + 121$ 以上であればよいから、

$$ 14p + 88 \geqq p^2 + 121 $$

$$ p^2 - 14p + 33 \leqq 0 $$

$$ (p - 3)(p - 11) \leqq 0 $$

これを解いて、$3 \leqq p \leqq 11$ を得る。これは前提条件 $0 < p \leqq 11$ を満たす。

解説

(1)は、点と点の距離に関する不等式から領域を図示する基本問題である。アポロニウスの円と垂直二等分線によって囲まれる領域が導出される。 (2)は、点 $O$ と点 $P$ からの距離条件を「線分 $OP$ の垂直二等分線によって分けられる半平面」として捉え、それが領域 $D$ と共有点を持つ条件を求める問題である。式で処理すれば、線形計画法の最大値・最小値問題に帰着できる。本問で最も差がつくのは、「領域 $D$ において $2px + 22y$ が最大となるのはどの点か」を厳密に判定する部分である。直線の傾きの範囲から視覚的に点 $(7, 4)$ で最大になりそうだと推測はできるが、円弧上にある接点と直線の位置関係を数式で評価し、接点が領域外にあることを示すことで、論理の飛躍がない完全な解答となる。