東北大学 2004年 理系 第2問 解説

方針・初手

面積は媒介変数表示のまま

$$ S=\int y,dx=\int y(t)x'(t),dt $$

で求めるのが最も自然である。

また、道のりは各曲線の弧長

$$ L=\int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2},dt $$

を $C_1,C_2,C_3$ ごとに計算して足し合わせればよい。$C_2$ は $x=a\cos^3\theta,\ y=a\sin^3\theta$ の形であり、$\theta$ による再媒介変数化が有効である。

解法1

$\alpha=\sqrt{\dfrac53}$ とおく。

(1) $C_1$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積

$C_1$ は

$$ x=\frac{15}{2}t^4,\qquad y=-3t^5+5t^3\qquad (0\le t\le \alpha) $$

であるから、

$$ \frac{dx}{dt}=30t^3 $$

である。したがって面積 $S$ は

$$ S=\int_0^\alpha y(t)\frac{dx}{dt},dt =\int_0^\alpha (-3t^5+5t^3)\cdot 30t^3,dt $$

$$ =\int_0^\alpha (-90t^8+150t^6),dt =\left[-10t^9+\frac{150}{7}t^7\right]_0^\alpha $$

$$ =-10\alpha^9+\frac{150}{7}\alpha^7 =\alpha^7\left(-10\alpha^2+\frac{150}{7}\right) $$

ここで $\alpha^2=\dfrac53$ であるから、

$$ -10\alpha^2+\frac{150}{7} =-\frac{50}{3}+\frac{150}{7} =\frac{100}{21} $$

より、

$$ S=\frac{100}{21}\alpha^7 =\frac{100}{21}\left(\frac53\right)^{7/2} =\frac{12500}{567}\sqrt{\frac53} $$

となる。

(2) 原点 $O$ を出発し、$C_1,C_2,C_3$ を順にたどって $O$ に戻る道のり

まず $C_1$ の長さを求める。

$$ \frac{dx}{dt}=30t^3,\qquad \frac{dy}{dt}=-15t^4+15t^2=15t^2(1-t^2) $$

よって弧長要素は

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =\sqrt{900t^6+225t^4(1-t^2)^2} $$

$$ =15t^2\sqrt{4t^2+(1-t^2)^2} =15t^2\sqrt{t^4+2t^2+1} =15t^2(t^2+1) $$

である。したがって $C_1$ の長さ $L_1$ は

$$ L_1=\int_0^\alpha 15t^2(t^2+1),dt =\left[3t^5+5t^3\right]_0^\alpha =3\alpha^5+5\alpha^3 $$

$$ =\alpha^3(3\alpha^2+5) =\alpha^3(5+5) =10\alpha^3 =10\left(\frac53\right)^{3/2} =\frac{50\sqrt{15}}{9} $$

となる。

次に $C_2$ を考える。$R=\dfrac{125}{6}$ とおき、

$$ \theta=2\pi\left(-t+\sqrt{\frac53}\right) $$

とおくと、

$$ x=R\cos^3\theta,\qquad y=R\sin^3\theta $$

となる。$t=\alpha$ で $\theta=0$、$t=\alpha+\dfrac14$ で $\theta=-\dfrac{\pi}{2}$ である。

ここで

$$ \frac{dx}{d\theta}=-3R\cos^2\theta\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=3R\sin^2\theta\cos\theta $$

だから、

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} =3R|\sin\theta\cos\theta| $$

である。区間 $-\dfrac{\pi}{2}\le \theta\le 0$ では $\sin\theta\le 0,\ \cos\theta\ge 0$ なので

$$ |\sin\theta\cos\theta|=-\sin\theta\cos\theta $$

である。ゆえに $C_2$ の長さ $L_2$ は

$$ L_2=3R\int_{-\pi/2}^{0}(-\sin\theta\cos\theta),d\theta $$

$$ =3R\left[-\frac12\sin^2\theta\right]_{-\pi/2}^{0} =3R\cdot \frac12 =\frac{3}{2}\cdot \frac{125}{6} =\frac{125}{4} $$

となる。

最後に $C_3$ は

$$ x=0,\qquad y=\frac{125(t-2)}{6\left(\frac74-\sqrt{\frac53}\right)} \qquad \left(\sqrt{\frac53}+\frac14\le t\le 2\right) $$

であるから、$y$ は一定の速さで増加する。したがって $C_3$ の長さ $L_3$ は

$$ L_3=\int_{\alpha+1/4}^{2}\left|\frac{dy}{dt}\right|,dt =\frac{125}{6\left(\frac74-\alpha\right)} \left(2-\alpha-\frac14\right) =\frac{125}{6} $$

となる。

以上より、求める道のり $L$ は

$$ L=L_1+L_2+L_3 =\frac{50\sqrt{15}}{9}+\frac{125}{4}+\frac{125}{6} $$

$$ =\frac{50\sqrt{15}}{9}+\frac{625}{12} $$

である。

解説

$C_1$ の面積は、媒介変数表示された曲線に対する

$$ S=\int y,dx $$

をそのまま使うのが最短である。

また、$C_2$ は

$$ x=R\cos^3\theta,\qquad y=R\sin^3\theta $$

というアステロイドの一部であり、角変数 $\theta$ を導入すると弧長計算が一気に簡単になる。$C_3$ は $y$ 軸上の線分であるから、長さは端点の $y$ 座標の差そのものである。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{12500}{567}\sqrt{\frac53} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{50\sqrt{15}}{9}+\frac{625}{12} $$