名古屋大学 2013年 理系 第4問 解説

方針・初手

(1) 円が直線上を転がる運動（トロコイド）の媒介変数表示を求める問題である。点 $A$ の位置ベクトル $\vec{OA}$ を、円盤の中心 $P$ の位置ベクトル $\vec{OP}$ と、中心 $P$ から点 $A$ へのベクトル $\vec{PA}$ の和 $\vec{OA} = \vec{OP} + \vec{PA}$ として求める。$\vec{PA}$ は時間の経過とともに回転するため、回転行列を用いて表す。 (2) 求めた $x(t)$ と $y(t)$ をそれぞれ $t$ で微分し、増減表を書いて最大値と最小値を求める。 (3) $y(t) \geqq 0$ となる $t$ の範囲を求め、その区間における $x(t)$ の単調性を確認したうえで、置換積分により面積を計算する。

解法1

(1)

時刻 $t$ において、円盤 $C_1$ の中心を $P$ とする。 $C_1$ は半径 $1$ で $x$ 軸上をすべることなく転がるため、時刻 $t$ における中心 $P$ の座標は $(t, 1)$ である。 $C_1$ は $x$ 軸上を距離 $t$ だけ進むため、円盤全体は時計回りに角度 $t$ だけ回転する。 点 $A$ は $C_2$（半径 $2$）上の定点であり、$t=0$ のとき $A(0, -1)$、中心 $P(0, 1)$ であるから、ベクトル $\vec{PA}$ は

$$ \vec{PA} = (0, -2) $$

である。時刻 $t$ には、このベクトル $\vec{PA}$ は時計回りに角度 $t$ 回転した状態になる。 時計回りに $t$ の回転は、反時計回りに $-t$ の回転であるから、時刻 $t$ におけるベクトル $\vec{PA}$ は回転行列を用いて次のように表される。

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} \cos(-t) & -\sin(-t) \\ \sin(-t) & \cos(-t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2\sin t \\ -2\cos t \end{pmatrix} \end{aligned} $$

よって、時刻 $t$ における点 $A$ の位置ベクトルは

$$ \vec{OA} = \vec{OP} + \vec{PA} = (t, 1) + (-2\sin t, -2\cos t) = (t - 2\sin t, 1 - 2\cos t) $$

したがって、求める座標は

$$ x(t) = t - 2\sin t, \quad y(t) = 1 - 2\cos t $$

となる。

(2)

$0 \leqq t \leqq 2\pi$ において、$x(t)$ と $y(t)$ の増減を調べる。

$x(t) = t - 2\sin t$ について微分すると

$$ x'(t) = 1 - 2\cos t $$

$x'(t) = 0$ となるのは $\cos t = \frac{1}{2}$ のときであり、$0 \leqq t \leqq 2\pi$ より $t = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。

$y(t) = 1 - 2\cos t$ について微分すると

$$ y'(t) = 2\sin t $$

$y'(t) = 0$ となるのは $\sin t = 0$ のときであり、$0 \leqq t \leqq 2\pi$ より $t = 0, \pi, 2\pi$ である。

それぞれの増減表は以下のようになる。

$x(t)$ の増減表

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\frac{5\pi}{3}$	$\cdots$	$2\pi$
$x'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$x(t)$	$0$	$\searrow$	$\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}$	$\nearrow$	$\frac{5\pi}{3}+\sqrt{3}$	$\searrow$	$2\pi$

これより、$x(t)$ は $t = \frac{5\pi}{3}$ で最大値 $\frac{5\pi}{3}+\sqrt{3}$ $t = \frac{\pi}{3}$ で最小値 $\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}$ をとる。

$y(t)$ の増減表

$t$	$0$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$2\pi$
$y'(t)$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$y(t)$	$-1$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1$

これより、$y(t)$ は $t = \pi$ で最大値 $3$ $t = 0, 2\pi$ で最小値 $-1$ をとる。

これらのときの点 $A$ の座標を求める。

$x(t)$ が最大となるとき（$t = \frac{5\pi}{3}$）：

$$ y\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 1 - 2\cos\frac{5\pi}{3} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 $$

よって、座標は $\left(\frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}, 0\right)$

$x(t)$ が最小となるとき（$t = \frac{\pi}{3}$）：

$$ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 - 2\cos\frac{\pi}{3} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 $$

よって、座標は $\left(\frac{\pi}{3} - \sqrt{3}, 0\right)$

$y(t)$ が最大となるとき（$t = \pi$）：

$$ x(\pi) = \pi - 2\sin\pi = \pi $$

よって、座標は $(\pi, 3)$

$y(t)$ が最小となるとき（$t = 0, 2\pi$）：

$$ \begin{aligned} & x(0) = 0, \quad y(0) = -1 \quad \text{より} \quad (0, -1) \\ & x(2\pi) = 2\pi, \quad y(2\pi) = -1 \quad \text{より} \quad (2\pi, -1) \end{aligned} $$

(3)

曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。 $C$ と $x$ 軸の交点は $y(t) = 0$ のときであり、

$$ 1 - 2\cos t = 0 \iff \cos t = \frac{1}{2} $$

$0 \leqq t \leqq 2\pi$ より、$t = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。 $y(t) \geqq 0$ となる $t$ の範囲は $\frac{\pi}{3} \leqq t \leqq \frac{5\pi}{3}$ である。 (2) の増減表より、この区間において $x'(t) \geqq 0$ であるため、$x(t)$ は単調に増加する。したがって、曲線 $C$ は自己交差せず左から右へ描かれるため、求める面積 $S$ は

$$ S = \int_{x(\frac{\pi}{3})}^{x(\frac{5\pi}{3})} y \, dx $$

で計算できる。$x = x(t)$ と置換積分すると $dx = x'(t) \, dt$ であり、積分区間は $x$ が $x\left(\frac{\pi}{3}\right)$ から $x\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ のとき、$t$ は $\frac{\pi}{3}$ から $\frac{5\pi}{3}$ となる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} y(t) x'(t) \, dt \\ &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} (1 - 2\cos t)(1 - 2\cos t) \, dt \\ &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} (1 - 4\cos t + 4\cos^2 t) \, dt \end{aligned} $$

半角の公式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ を用いると、被積分関数は

$$ \begin{aligned} 1 - 4\cos t + 4\cos^2 t &= 1 - 4\cos t + 2(1 + \cos 2t) \\ &= 3 - 4\cos t + 2\cos 2t \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} (3 - 4\cos t + 2\cos 2t) \, dt \\ &= \left[ 3t - 4\sin t + \sin 2t \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} \end{aligned} $$

ここに $t = \frac{5\pi}{3}$ と $t = \frac{\pi}{3}$ を代入する。 $t = \frac{5\pi}{3}$ のとき：

$$ 3\left(\frac{5\pi}{3}\right) - 4\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{10\pi}{3}\right) = 5\pi - 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

$t = \frac{\pi}{3}$ のとき：

$$ 3\left(\frac{\pi}{3}\right) - 4\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \pi - 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \pi - \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

これらの差をとって、

$$ S = \left( 5\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \pi - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) = 4\pi + 3\sqrt{3} $$

解説

• (1) はトロコイドの媒介変数表示を求める典型的な問題である。円が転がるとき、円の中心の座標と、中心から見た定点の相対的な位置ベクトル（回転）に分けて記述するのが定石である。本問では外側の円盤上の定点が描く軌跡であるため、回転の半径が $2$ となることに注意する。
• (2) の増減を調べる際、$x(t)$ と $y(t)$ が独立して動くため、別々に微分して増減表を作成する。
• (3) 面積を求める際は、積分区間における $x(t)$ の単調性を確認することが重要である。自己交差や逆行があると面積の立式が複雑になるが、本問では $y \geqq 0$ の区間で $x'(t) \geqq 0$ となるため、そのまま定積分を計算すればよい。

答え

(1) $$ x(t) = t - 2\sin t, \quad y(t) = 1 - 2\cos t $$

(2) $x(t)$ が最大となるとき：$\left(\frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}, 0\right)$ $x(t)$ が最小となるとき：$\left(\frac{\pi}{3} - \sqrt{3}, 0\right)$ $y(t)$ が最大となるとき：$(\pi, 3)$ $y(t)$ が最小となるとき：$(0, -1), (2\pi, -1)$

(3) $$ 4\pi + 3\sqrt{3} $$