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北海道大学 2024年理系第3問解説

方針・初手

(1)は基本的な2項間漸化式の問題である。特性方程式を用いて等比数列に帰着させる。

(2)は関数列の漸化式であるが、定積分 $\int_0^1 f_n(t) dt$ は $x$ に依存しない定数であることに着目する。これを定数としておくことで、この定数に関する漸化式を導くことができ、(1)の結果が活用できる。

解法1

(1)

与えられた漸化式は以下の通りである。

$$ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1 $$

方程式 $c = \frac{1}{2}c + 1$ を解くと $c = 2$ となる。これを用いて漸化式を変形すると、次のように表せる。

$$ a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2} (a_n - 2) $$

よって、数列 $\{a_n - 2\}$ は、初項 $a_1 - 2 = \alpha - 2$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$$ a_n - 2 = (\alpha - 2) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

したがって、一般項 $a_n$ は次のように求まる。

$$ a_n = (\alpha - 2) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} + 2 $$

(2)

定積分 $\int_0^1 f_n(t) dt$ は $n$ によって定まる定数であるから、これを $c_n$ とおく。

$$ c_n = \int_0^1 f_n(t) dt $$

このとき、与えられた関数列の漸化式は次のように書ける。

$$ f_{n+1}(x) = (n+2)x^{n+1} + c_n x $$

この式の両辺を $x = t$ として $0$ から $1$ まで定積分すると、$c_{n+1}$ と $c_n$ の関係式が得られる。

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &= \int_0^1 f_{n+1}(t) dt \\ &= \int_0^1 \left\{ (n+2)t^{n+1} + c_n t \right\} dt \\ &= \left[ t^{n+2} + \frac{c_n}{2} t^2 \right]_0^1 \\ &= 1 + \frac{1}{2} c_n \end{aligned} $$

すなわち、数列 $\{c_n\}$ は次の漸化式を満たす。

$$ c_{n+1} = \frac{1}{2}c_n + 1 $$

また、$c_1$ は $f_1(x) = 3x$ を用いて次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} c_1 &= \int_0^1 f_1(t) dt \\ &= \int_0^1 3t dt \\ &= \left[ \frac{3}{2} t^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned} $$

数列 $\{c_n\}$ は、(1)の数列 $\{a_n\}$ において $\alpha = \frac{3}{2}$ とした場合と全く同じ漸化式と初項を持つ。したがって、(1)の結果を利用して一般項 $c_n$ を求めることができる。

$$ \begin{aligned} c_n &= \left( \frac{3}{2} - 2 \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} + 2 \\ &= -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} + 2 \\ &= 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^n \end{aligned} $$

ここで、問題文の定義より $n \geqq 1$ において以下が成り立つ。

$$ f_{n+1}(x) = (n+2)x^{n+1} + c_n x $$

求めたいのは $f_n(x)$ であるから、上の式の $n$ を $n-1$ に置き換える。この操作は $n-1 \geqq 1$、すなわち $n \geqq 2$ のときに可能である。$n \geqq 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} f_n(x) &= (n+1)x^n + c_{n-1} x \\ &= (n+1)x^n + \left\{ 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} x \end{aligned} $$

最後に、$n=1$ のときにもこの式が成り立つかを確認する。$n=1$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} f_1(x) &= (1+1)x^1 + \left\{ 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^0 \right\} x \\ &= 2x + (2 - 1)x \\ &= 3x \end{aligned} $$

これは与えられた $f_1(x) = 3x$ と一致するため、$n=1$ のときも成り立つ。

解説

定積分で表された部分が定数となることを利用する、数学IIの積分法における典型的な問題である。「定積分を定数とおく」という手技を漸化式と組み合わせた構造になっている。

(1)が(2)の直接的な誘導になっており、(2)で数列 $\{c_n\}$ の漸化式を正しく立てられれば、あとは(1)の結論を適用するだけでスムーズに解き進めることができる。$f_{n+1}(x)$ の式から $f_n(x)$ を導く際に、$n$ を $n-1$ に置き換えるため、$n \geqq 2$ と $n=1$ の場合に分けて確認する論理の記述が重要となる。