北海道大学 2024年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1) 曲線上の接点の $x$ 座標を変数 $t$ でおき、接線の方程式を立てる。それが原点を通るという条件から $t$ についての方程式を導いて解く。その際、傾きが正になるものを選択する。 (2) 関数を2階微分し、定義域 $x > -2$ において常に $f''(x) > 0$ となることを示す。 (3) (2) で示した「下に凸」という性質により、接線は接点以外の場所で曲線の下側にあることがわかる。この上下関係から積分区間と被積分関数を決定し、定積分を計算する。対数関数の積分では部分積分を用いる。

解法1

(1) $f(x) = x \log(x+2) + 1$ を微分する。積の微分法より、

$$ f'(x) = 1 \cdot \log(x+2) + x \cdot \frac{1}{x+2} = \log(x+2) + \frac{x}{x+2} $$

曲線 $C$ 上の接点を $(t, f(t))$ $(t > -2)$ とおくと、この点における接線の方程式は、

$$ y - \{ t \log(t+2) + 1 \} = \left( \log(t+2) + \frac{t}{t+2} \right) (x - t) $$

この接線が原点 $(0,0)$ を通るので、$x=0, y=0$ を代入して、

$$ - \{ t \log(t+2) + 1 \} = -t \left( \log(t+2) + \frac{t}{t+2} \right) $$

$$ -t \log(t+2) - 1 = -t \log(t+2) - \frac{t^2}{t+2} $$

$$ 1 = \frac{t^2}{t+2} $$

両辺に $t+2$ を掛けて整理する。

$$ t^2 - t - 2 = 0 $$

$$ (t-2)(t+1) = 0 $$

$t > -2$ より、$t = -1, 2$。

ここで、接線の傾き $f'(t)$ が正であるものを探す。 $t = -1$ のとき、

$$ f'(-1) = \log 1 + \frac{-1}{1} = -1 < 0 $$

となり、条件を満たさないため不適である。 $t = 2$ のとき、

$$ f'(2) = \log 4 + \frac{2}{4} = 2 \log 2 + \frac{1}{2} $$

$\log 2 > 0$ であるから $f'(2) > 0$ となり、条件を満たす。 よって、接点の座標は $(2, 4\log 2 + 1)$ であり、求める直線 $l$ の方程式は、

$$ y = \left( 2 \log 2 + \frac{1}{2} \right) x $$

(2) (1) で求めた $f'(x)$ をさらに微分する。計算しやすいように形を変えてから微分する。

$$ f'(x) = \log(x+2) + \frac{x+2-2}{x+2} = \log(x+2) + 1 - \frac{2}{x+2} $$

$$ f''(x) = \frac{1}{x+2} - (-1)\frac{2}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} + \frac{2}{(x+2)^2} $$

定義域 $x > -2$ においては $x+2 > 0$ であるから、

$$ \frac{1}{x+2} > 0, \quad \frac{2}{(x+2)^2} > 0 $$

したがって、常に $f''(x) > 0$ が成り立つ。 以上より、曲線 $C$ は下に凸であることが示された。

(3) (2) の結果より、曲線 $C$ は下に凸であるため、接点 $(2, 4\log 2 + 1)$ における接線 $l$ は、接点以外の区間 $0 \leqq x < 2$ において曲線 $C$ の下側にある。 したがって、求める面積 $S$ は、曲線 $C$ から直線 $l$ を引いたものを区間 $0 \leqq x \leqq 2$ で定積分して求められる。

$$ S = \int_{0}^{2} \left\{ f(x) - \left( 2 \log 2 + \frac{1}{2} \right) x \right\} dx $$

$$ S = \int_{0}^{2} f(x) dx - \int_{0}^{2} \left( 2 \log 2 + \frac{1}{2} \right) x dx $$

ここで、第1項の定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} \{ x \log(x+2) + 1 \} dx = \int_{0}^{2} x \log(x+2) dx + \int_{0}^{2} 1 dx $$

部分積分法を用いる際、$\int x dx = \frac{1}{2}x^2$ の積分定数を工夫して $\frac{1}{2}(x^2 - 4)$ とするとその後の計算が容易になる。

$$ \int_{0}^{2} x \log(x+2) dx = \int_{0}^{2} \left\{ \frac{1}{2}(x^2 - 4) \right\}' \log(x+2) dx $$

$$ = \left[ \frac{1}{2}(x^2 - 4) \log(x+2) \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{2}(x^2 - 4) \cdot \frac{1}{x+2} dx $$

$$ = \left( 0 - (-2 \log 2) \right) - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (x - 2) dx $$

$$ = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}x^2 - 2x \right]_{0}^{2} $$

$$ = 2 \log 2 - \frac{1}{2} (2 - 4) = 2 \log 2 + 1 $$

したがって、

$$ \int_{0}^{2} f(x) dx = (2 \log 2 + 1) + [x]_{0}^{2} = 2 \log 2 + 3 $$

次に、第2項の定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{2} \left( 2 \log 2 + \frac{1}{2} \right) x dx = \left( 2 \log 2 + \frac{1}{2} \right) \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{2} = \left( 2 \log 2 + \frac{1}{2} \right) \cdot 2 = 4 \log 2 + 1 $$

以上より、求める面積 $S$ は、

$$ S = (2 \log 2 + 3) - (4 \log 2 + 1) = 2 - 2 \log 2 $$

解説

微分法・積分法の基礎的な計算力と思考力を問う標準的な問題である。 (1) の接線の方程式は、「接点の $x$ 座標を文字でおいて方程式を立て、通る点の座標を代入する」という基本手順で求まる。「傾きが正」という条件で解を絞り込む過程を忘れないようにしたい。 (2) は $f''(x) > 0$ を示すだけであるが、$f'(x)$ の式に含まれる $\frac{x}{x+2}$ を $1 - \frac{2}{x+2}$ に変形してから微分すると、商の微分法を使う手間が省けて計算ミスを防ぎやすい。 (3) は面積の計算である。グラフの上下関係は (2) の「下に凸」という結果を利用して論証する。定積分の計算においては、$x \log(x+2)$ の部分積分で $\frac{x^2}{2}$ の代わりに $\frac{x^2 - 4}{2}$ を用いるテクニックが極めて有効である。これにより分数関数の積分が多項式の積分へと劇的に簡単化される。

答え

(1) $y = \left( 2\log 2 + \frac{1}{2} \right)x$ (2) $x > -2$ において $f''(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{2}{(x+2)^2} > 0$ であるから、曲線 $C$ は下に凸である。（証明終わり） (3) $2 - 2\log 2$