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京都大学 1963年文系第4問解説

方針・初手

時刻 $t$ における点 D, E, F の位置を表し、重心と面積を $t$ で整理する。面積は $\triangle ABC$ 全体から周囲の3つの三角形を引いて考える。

解法1

(イ)

点 A, B, C の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とする。

点 D は時刻 $t=0$ に A にあり、時刻 $t=1$ に B に達する。一定の速さで進むため、時刻 $t$ ($0 \leqq t \leqq 1$) において D は線分 AB を $t : (1-t)$ に内分する点である。したがって、点 D の位置ベクトル $\vec{d}$ は次のように表される。

$$ \vec{d} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b} $$

同様に、点 E, F はそれぞれ線分 BC, CA を $t : (1-t)$ に内分する点であるから、その位置ベクトル $\vec{e}, \vec{f}$ は次のように表される。

$$ \begin{aligned} \vec{e} &= (1-t)\vec{b} + t\vec{c} \\ \vec{f} &= (1-t)\vec{c} + t\vec{a} \end{aligned} $$

$\triangle DEF$ の重心の位置ベクトルを $\vec{g}$ とすると、

$$ \begin{aligned} \vec{g} &= \frac{\vec{d} + \vec{e} + \vec{f}}{3} \\ &= \frac{1}{3} \{ (1-t)\vec{a} + t\vec{b} + (1-t)\vec{b} + t\vec{c} + (1-t)\vec{c} + t\vec{a} \} \\ &= \frac{1}{3} \{ (1-t+t)\vec{a} + (t+1-t)\vec{b} + (1-t+t)\vec{c} \} \\ &= \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \end{aligned} $$

この結果は $\triangle ABC$ の重心の位置ベクトルと一致しており、$t$ に依存しない。したがって、その間 $\triangle DEF$ の重心は動かない。（証明終）

(ロ)

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とし、$\triangle DEF$ の面積を $S(t)$ とする。 $S(t)$ は $\triangle ABC$ から3つの三角形 $\triangle ADF$, $\triangle BED$, $\triangle CFE$ の面積を引いたものである。

点 D は線分 AB を $t : (1-t)$ に内分するので、頂点 A からの距離は、

$$ AD = t AB, \quad DB = (1-t) AB $$

点 F は線分 CA を $t : (1-t)$ に内分するので、頂点 A からの距離は、

$$ CF = t CA, \quad FA = (1-t) CA $$

これらを用いると、$\triangle ADF$ の面積は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \triangle ADF &= \frac{1}{2} AD \cdot AF \sin A \\ &= \frac{1}{2} (t AB) \{ (1-t) CA \} \sin A \\ &= t(1-t) \left( \frac{1}{2} AB \cdot CA \sin A \right) \\ &= t(1-t) S \end{aligned} $$

同様の計算手順により、$\triangle BED$ および $\triangle CFE$ の面積もそれぞれ $t(1-t)S$ となることがわかる。したがって、$\triangle DEF$ の面積 $S(t)$ は全体からこれらを引いて、

$$ \begin{aligned} S(t) &= S - (\triangle ADF + \triangle BED + \triangle CFE) \\ &= S - 3t(1-t)S \\ &= (3t^2 - 3t + 1)S \end{aligned} $$

ここで、$t$ の関数 $f(t) = 3t^2 - 3t + 1$ について平方完成を行うと、

$$ \begin{aligned} f(t) &= 3 \left( t^2 - t \right) + 1 \\ &= 3 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1 \\ &= 3 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} \end{aligned} $$

$0 \leqq t \leqq 1$ の範囲において、$f(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{4}$ をとる。よって、$\triangle DEF$ の面積の最小値は $\triangle ABC$ の面積の $\frac{1}{4}$ 倍である。

解説

時刻 $t$ における動点の位置をどのように数式化するかが要点である。一定の速さで線分上を動くという条件から、「線分を $t : (1-t)$ に内分する点」と読み替える。 (イ) は位置ベクトルを立式し、機械的に足し合わせるだけで示せる基本的な問題である。 (ロ) の面積計算では、各頂点における三角形の面積を、全体面積に対する辺の長さの比の積として求める手法が最も簡明である。立式した後は2次関数の最小値問題に帰着させる典型的な処理であり、確実に完答したい一問である。