京都大学 1963年 文系 第6問 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $(X, Y)$ とおき、条件を式に直す。 円外の点 $P$ から引いた2本の接線の接点を通る直線の方程式を求め、それが定点 $(a, 0)$ を通る条件を用いる。 さらに、その直線が円と2点で交わる条件を考え、$a$ と $r$ の大小関係によって場合分けする。

解法1

点 $P$ の座標を $(X, Y)$ とおく。 直線が円 $x^2 + y^2 = r^2$ と2点で交わるとき、その交点を $Q, R$ とする。点 $P$ は $Q, R$ における接線の交点であるから、直線 $QR$ は点 $P$ を極とする極線である。 接点 $Q, R$ の座標をそれぞれ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ とおく。 $Q, R$ における接線の方程式はそれぞれ

$$ x_1 x + y_1 y = r^2 $$

$$ x_2 x + y_2 y = r^2 $$

である。これらがともに点 $P(X, Y)$ を通るから

$$ x_1 X + y_1 Y = r^2 $$

$$ x_2 X + y_2 Y = r^2 $$

が成り立つ。 これは、2点 $Q(x_1, y_1)$ と $R(x_2, y_2)$ が直線 $Xx + Yy = r^2$ 上にあることを示している。 したがって、2つの接点 $Q, R$ を通る直線の方程式は

$$ Xx + Yy = r^2 $$

となる。

問題の条件より、この直線が定点 $(a, 0)$ を通るので

$$ aX + 0 \cdot Y = r^2 $$

$$ aX = r^2 $$

$a > 0$ であるから

$$ X = \frac{r^2}{a} $$

となり、点 $P$ は直線 $x = \frac{r^2}{a}$ 上にあることがわかる。

次に、直線 $Xx + Yy = r^2$ が円 $x^2 + y^2 = r^2$ と2点で交わるための条件を求める。 円の中心（原点）と直線 $Xx + Yy - r^2 = 0$ との距離 $d$ は

$$ d = \frac{|-r^2|}{\sqrt{X^2 + Y^2}} = \frac{r^2}{\sqrt{X^2 + Y^2}} $$

直線と円が2点で交わるための条件は $d < r$ であるから

$$ \frac{r^2}{\sqrt{X^2 + Y^2}} < r $$

$r > 0$ より、分母を払って

$$ \sqrt{X^2 + Y^2} > r $$

両辺は正であるから、2乗して

$$ X^2 + Y^2 > r^2 $$

（これは点 $P(X, Y)$ が円の外部にある条件と一致する） ここに $X = \frac{r^2}{a}$ を代入すると

$$ \left( \frac{r^2}{a} \right)^2 + Y^2 > r^2 $$

$$ Y^2 > r^2 - \frac{r^4}{a^2} $$

$$ Y^2 > \frac{r^2(a^2 - r^2)}{a^2} $$

ここで、$a > 0, r > 0$ に注意して $a$ と $r$ の大小関係によって場合分けを行う。

(i)

$0 < a < r$ のとき 右辺 $\frac{r^2(a^2 - r^2)}{a^2} < 0$ となる。 実数 $Y$ について常に $Y^2 \ge 0$ であるから、$Y^2 > \text{(負の数)}$ はすべての実数 $Y$ について成り立つ。

(ii)

$a = r$ のとき 右辺は $0$ となる。 不等式は $Y^2 > 0$ となるから、条件は $Y \neq 0$ である。

(iii)

$a > r$ のとき 右辺 $\frac{r^2(a^2 - r^2)}{a^2} > 0$ となる。 不等式を解くと

$$ Y < -\frac{r}{a}\sqrt{a^2 - r^2}, \quad \frac{r}{a}\sqrt{a^2 - r^2} < Y $$

となる。

以上より、点 $P(X, Y)$ の軌跡が求まる。

解説

極線の方程式を利用する軌跡の問題である。円外の点から引いた2本の接線の接点を通る直線の方程式は、接線の方程式と同じ形で表せるので、接点の座標を文字でおいて導くと流れが明確になる。

さらに、「直線が円と2点で交わる」という条件を不等式で処理すると、$a$ と $r$ の大小によって場合が分かれる。定点 $(a, 0)$ が円の内部、円周上、円の外部のどこにあるかを図形的にも意識すると整理しやすい。

答え

点 $P$ の軌跡は以下の通り。

(i)

$0 < a < r$ のとき 直線 $x = \frac{r^2}{a}$

(ii)

$a = r$ のとき 直線 $x = r$ の $y \neq 0$ の部分

(iii)

$a > r$ のとき 直線 $x = \frac{r^2}{a}$ のうち、$y < -\frac{r}{a}\sqrt{a^2 - r^2}$ または $y > \frac{r}{a}\sqrt{a^2 - r^2}$ の部分