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京都大学 1978年文系第1問解説

方針・初手

右辺と左辺の差をとり、式を整理する。差の式に現れる項に着目し、相加平均と相乗平均の大小関係（$3$ 変数の場合）を利用する方針、あるいは適切な文字の置き換えによって多項式の因数分解に持ち込む方針が考えられる。

解法1

右辺から左辺を引いた差を計算する。

$$ \begin{aligned} (\text{右辺}) - (\text{左辺}) &= 3 \left( \frac{a+b+c}{3} - \sqrt[3]{abc} \right) - 2 \left( \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \right) \\ &= a + b + c - 3\sqrt[3]{abc} - (a + b - 2\sqrt{ab}) \\ &= c + 2\sqrt{ab} - 3\sqrt[3]{abc} \end{aligned} $$

$a, b, c$ は正の数であるから、$c > 0$ かつ $\sqrt{ab} > 0$ である。 $3$ つの正の数 $c, \sqrt{ab}, \sqrt{ab}$ に対して、相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、

$$ c + \sqrt{ab} + \sqrt{ab} \geqq 3\sqrt[3]{c \cdot \sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} $$

$$ c + 2\sqrt{ab} \geqq 3\sqrt[3]{c \cdot (\sqrt{ab})^2} $$

ここで、$c \cdot (\sqrt{ab})^2 = c \cdot ab = abc$ であるから、

$$ c + 2\sqrt{ab} \geqq 3\sqrt[3]{abc} $$

$$ c + 2\sqrt{ab} - 3\sqrt[3]{abc} \geqq 0 $$

したがって、$(\text{右辺}) - (\text{左辺}) \geqq 0$ となるため、与えられた不等式は成り立つ。

等号が成立するのは、相加平均と相乗平均の大小関係において等号が成り立つときであるから、 $c = \sqrt{ab} = \sqrt{ab}$ すなわち $c = \sqrt{ab}$ のときである。

解法2

右辺と左辺の差を計算するところまでは解法1と同様である。

$$ (\text{右辺}) - (\text{左辺}) = c - 3\sqrt[3]{abc} + 2\sqrt{ab} $$

ここで、$x = \sqrt[3]{c}, \quad y = \sqrt[6]{ab}$ とおく。 $a, b, c$ は正の数であるから、$x > 0, y > 0$ であり、 $c = x^3, \quad \sqrt{ab} = y^3, \quad \sqrt[3]{abc} = x y^2$ と表せる。これを用いて差の式を書き換えると、

$$ \begin{aligned} (\text{右辺}) - (\text{左辺}) &= x^3 - 3xy^2 + 2y^3 \\ &= x^3 - xy^2 - 2xy^2 + 2y^3 \\ &= x(x^2 - y^2) - 2y^2(x - y) \\ &= x(x - y)(x + y) - 2y^2(x - y) \\ &= (x - y) \{ x(x + y) - 2y^2 \} \\ &= (x - y)(x^2 + xy - 2y^2) \\ &= (x - y)(x - y)(x + 2y) \\ &= (x - y)^2(x + 2y) \end{aligned} $$

$x > 0, y > 0$ より $x + 2y > 0$ である。また、実数の平方であるから $(x - y)^2 \geqq 0$ である。したがって、

$$ (x - y)^2(x + 2y) \geqq 0 $$

よって、$(\text{右辺}) - (\text{左辺}) \geqq 0$ となるため、与えられた不等式は成り立つ。

等号が成立するのは、$(x - y)^2(x + 2y) = 0$ のときであるが、$x + 2y > 0$ であるため $x - y = 0$、すなわち $x = y$ のときである。これを元の文字に戻すと、$\sqrt[3]{c} = \sqrt[6]{ab}$ より、両辺を $3$ 乗して $c = \sqrt{ab}$ のときである。

解説

差をとって整理した式 $c + 2\sqrt{ab} - 3\sqrt[3]{abc}$ をどう評価するかが鍵となる問題である。解法1のように、$c + 2\sqrt{ab}$ を $c + \sqrt{ab} + \sqrt{ab}$ と $3$ つの項に分割することで、うまく $3$ 変数の相加・相乗平均の大小関係の形を作り出すアプローチは非常に鮮やかであり、計算量も少ない。一方で、無理式を扱う際の定石である「累乗根をはずすための文字の置き換え」を行うのが解法2である。同次式の因数分解に持ち込むことで、論理的な飛躍なく機械的に証明を完遂することができる。