京都大学 1980年 文系 第4問 解説

方針・初手

確率の加法定理が適用できる条件を考える。和事象の確率をそれぞれの確率の単純な和として計算できるのは、各事象が「互いに排反（同時には起こらない）」である場合のみである。サイコロを複数回振る際、異なる回で同じ目が出ることは当然起こり得るため、排反ではない。

解法1

A君の考えは 正しくない。

【誤りの原因】 「$m$ 回目に1の目が出る」という事象（$m=1,2,\dots,6$）が、互いに排反ではないため。 （例えば1回目と2回目の両方で1の目が出るなど、重複して起こる場合があり、確率を単純に足し合わせることはできない。）

解説

確率の基本概念に対する誤解を指摘させる、シンプルながら本質的な問題である。 和事象の確率 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ において、事象 $A$ と事象 $B$ が同時に起こらない（互いに排反である）ときのみ $P(A \cap B) = 0$ となり、単純な足し算が成立する。事象が3つ以上になるとこの「重複部分の引き算」の処理（包除原理）が非常に煩雑になるため、定石通り余事象を用いて、全体から「1回も1の目が出ない確率」を引き算するアプローチ（$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6$）をとるのが正解である。

答え

正しくない。

（誤りの原因） 「$m$ 回目に1の目が出る」という6つの事象が、互いに排反ではないから。