京都大学 1991年 文系 第5問 解説

方針・初手

袋の中の玉の総数は、常に $N+2$ 個で一定に保たれることに着目します。 $n$ 回目の試行における袋の中の状態は、「赤玉が1個（白玉が $N+1$ 個）」または「赤玉が2個（白玉が $N$ 個）」のいずれかです。 問題文の $P'_n$ と $P''_n$ の定義は、条件付き確率ではなく「〜であり、かつ〜となる確率」という積事象の確率であることに注意して、状態遷移（漸化式）を立式します。

解法1

(1)

$n$ 回目の試行の前に赤玉が $1$ 個ある事象を $A_n$、赤玉が $2$ 個ある事象を $B_n$ とする。 また、$n$ 回目の試行で赤玉を取り出す事象を $R_n$、白玉を取り出す事象を $W_n$ とする。 題意より、

$$ P'_n = P(A_n \cap R_n) = P(A_n) P(R_n | A_n) = P(A_n) \cdot \frac{1}{N+2} $$

$$ P''_n = P(B_n \cap R_n) = P(B_n) P(R_n | B_n) = P(B_n) \cdot \frac{2}{N+2} $$

である。これから、

$$ P(A_n) = (N+2)P'_n, \quad P(B_n) = \frac{N+2}{2} P''_n $$

と表せる。 次に、$n+1$ 回目の試行の前に赤玉が $1$ 個となる事象 $A_{n+1}$ を考える。 これは、「$n$ 回目の試行前に赤玉が $1$ 個あり、白玉を取り出す」または「$n$ 回目の試行前に赤玉が $2$ 個あり、赤玉を取り出す」のいずれかが起こる場合であるから、

$$ A_{n+1} = (A_n \cap W_n) \cup (B_n \cap R_n) $$

これらは互いに排反であるから、

$$ P(A_{n+1}) = P(A_n \cap W_n) + P(B_n \cap R_n) $$

$$ P(A_{n+1}) = P(A_n) P(W_n | A_n) + P''_n $$

$$ P(A_{n+1}) = (N+2)P'_n \cdot \frac{N+1}{N+2} + P''_n = (N+1)P'_n + P''_n $$

よって、$P'_{n+1}$ は

$$ P'_{n+1} = P(A_{n+1} \cap R_{n+1}) = P(A_{n+1}) P(R_{n+1} | A_{n+1}) = \{ (N+1)P'_n + P''_n \} \cdot \frac{1}{N+2} $$

$$ P'_{n+1} = \frac{N+1}{N+2} P'_n + \frac{1}{N+2} P''_n $$

同様に、$n+1$ 回目の試行の前に赤玉が $2$ 個となる事象 $B_{n+1}$ は、「$n$ 回目の試行前に赤玉が $2$ 個あり、白玉を取り出す」場合であるから、

$$ B_{n+1} = B_n \cap W_n $$

$$ P(B_{n+1}) = P(B_n \cap W_n) = P(B_n) P(W_n | B_n) $$

$$ P(B_{n+1}) = \frac{N+2}{2} P''_n \cdot \frac{N}{N+2} = \frac{N}{2} P''_n $$

よって、$P''_{n+1}$ は

$$ P''_{n+1} = P(B_{n+1} \cap R_{n+1}) = P(B_{n+1}) P(R_{n+1} | B_{n+1}) = \frac{N}{2} P''_n \cdot \frac{2}{N+2} $$

$$ P''_{n+1} = \frac{N}{N+2} P''_n $$

(2)

(1) の結果と $P_n = P'_n + P''_n$ より、

$$ P_{n+1} = P'_{n+1} + P''_{n+1} $$

$$ P_{n+1} = \left( \frac{N+1}{N+2} P'_n + \frac{1}{N+2} P''_n \right) + \frac{N}{N+2} P''_n $$

$$ P_{n+1} = \frac{N+1}{N+2} P'_n + \frac{N+1}{N+2} P''_n $$

$$ P_{n+1} = \frac{N+1}{N+2} (P'_n + P''_n) $$

$$ P_{n+1} = \frac{N+1}{N+2} P_n $$

となる。 また、$1$ 回目の試行について、最初は袋に赤玉が $2$ 個あるため、無作為に $1$ 個取り出して赤玉である確率は

$$ P_1 = \frac{2}{N+2} $$

である。 したがって、数列 $\{ P_n \}$ は初項 $\frac{2}{N+2}$、公比 $\frac{N+1}{N+2}$ の等比数列となるため、

$$ P_n = \frac{2}{N+2} \left( \frac{N+1}{N+2} \right)^{n-1} $$

解説

状態遷移を伴う確率漸化式の問題です。 問題文で与えられている文字 $P'_n, P''_n$ の定義を正確に数式に翻訳できるかが最大のポイントです。「〜であり、かつ〜となる」という表現から、これらが単なる「袋の状態の確率」でも「条件付き確率」でもなく、「積事象の確率」であることを正しく見抜く必要があります。 (1) で状態遷移を丁寧に立式できれば、(2) では辺々を足し合わせるだけで非常にきれいな等比数列の漸化式に帰着し、鮮やかに完答することができます。

答え

(1)

$$ P'_{n+1} = \frac{N+1}{N+2} P'_n + \frac{1}{N+2} P''_n $$

$$ P''_{n+1} = \frac{N}{N+2} P''_n $$

(2)

$$ P_{n+1} = \frac{N+1}{N+2} P_n $$

$$ P_n = \frac{2}{N+2} \left( \frac{N+1}{N+2} \right)^{n-1} $$