京都大学 1991年 理系 第5問 解説

方針・初手

各回の試行による「袋の中の赤玉の個数」の推移（状態遷移）を考える。 問題文で与えられた $P_{i,n}$ の定義は「赤玉が $i$ 個ある確率」ではなく、「赤玉が $i$ 個あり、かつ赤玉を取り出す確率」であることに注意が必要である。 思考を整理するため、「$n$ 回目の試行を行う前、袋の中に赤玉が $i$ 個ある確率」を自ら定義し、それを用いて状態の推移を立式してから $P_{i,n}$ の式に変換していくと見通しが良くなる。 (2) は (1) で求めた漸化式の辺々を足し合わせることで、シンプルな数列の漸化式に帰着できる。

解法1

(1) 「$n$ 回目の試行を行う前、袋の中に赤玉が $i$ 個ある確率」を $p_{i,n}$ とおく。 袋の中の玉の総数は常に $N+3$ 個であるから、$P_{i,n}$ の定義より以下が成り立つ。

$$ P_{i,n} = p_{i,n} \times \frac{i}{N+3} $$

$n+1$ 回目の試行を行う前の赤玉の個数について、場合分けして確率 $p_{i,n+1}$ を求める。

（i） 赤玉が3個の場合 $n+1$ 回目の試行前に赤玉が3個あるのは、$n$ 回目の試行前にも赤玉が3個あり、かつ $n$ 回目の試行で白玉を取り出した場合のみである。 白玉を取り出す確率は $\frac{N}{N+3}$ であるから、

$$ p_{3,n+1} = p_{3,n} \times \frac{N}{N+3} $$

両辺に $\frac{3}{N+3}$ を掛ける。

$$ \frac{3}{N+3} p_{3,n+1} = \frac{3}{N+3} p_{3,n} \times \frac{N}{N+3} $$

$$ P_{3,n+1} = \frac{N}{N+3} P_{3,n} $$

（ii） 赤玉が2個の場合 $n+1$ 回目の試行前に赤玉が2個あるのは、以下の2つの排反な事象のいずれかが起こった場合である。 ・$n$ 回目の試行前に赤玉が3個あり、$n$ 回目で赤玉を取り出す。（確率 $P_{3,n}$） ・$n$ 回目の試行前に赤玉が2個あり、$n$ 回目で白玉を取り出す。（確率 $p_{2,n} \times \frac{N+1}{N+3}$） よって、

$$ p_{2,n+1} = P_{3,n} + p_{2,n} \times \frac{N+1}{N+3} $$

両辺に $\frac{2}{N+3}$ を掛ける。

$$ \frac{2}{N+3} p_{2,n+1} = \frac{2}{N+3} P_{3,n} + \frac{2}{N+3} p_{2,n} \times \frac{N+1}{N+3} $$

$$ P_{2,n+1} = \frac{2}{N+3} P_{3,n} + \frac{N+1}{N+3} P_{2,n} $$

（iii） 赤玉が1個の場合 $n+1$ 回目の試行前に赤玉が1個あるのは、以下の2つの排反な事象のいずれかが起こった場合である。 ・$n$ 回目の試行前に赤玉が2個あり、$n$ 回目で赤玉を取り出す。（確率 $P_{2,n}$） ・$n$ 回目の試行前に赤玉が1個あり、$n$ 回目で白玉を取り出す。（確率 $p_{1,n} \times \frac{N+2}{N+3}$） よって、

$$ p_{1,n+1} = P_{2,n} + p_{1,n} \times \frac{N+2}{N+3} $$

両辺に $\frac{1}{N+3}$ を掛ける。

$$ \frac{1}{N+3} p_{1,n+1} = \frac{1}{N+3} P_{2,n} + \frac{1}{N+3} p_{1,n} \times \frac{N+2}{N+3} $$

$$ P_{1,n+1} = \frac{1}{N+3} P_{2,n} + \frac{N+2}{N+3} P_{1,n} $$

(2) $P_{n+1} = P_{1,n+1} + P_{2,n+1} + P_{3,n+1}$ であるから、(1)で求めた漸化式を代入する。

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \left( \frac{1}{N+3} P_{2,n} + \frac{N+2}{N+3} P_{1,n} \right) + \left( \frac{2}{N+3} P_{3,n} + \frac{N+1}{N+3} P_{2,n} \right) + \frac{N}{N+3} P_{3,n} \\ &= \frac{N+2}{N+3} P_{1,n} + \frac{N+2}{N+3} P_{2,n} + \frac{N+2}{N+3} P_{3,n} \\ &= \frac{N+2}{N+3} (P_{1,n} + P_{2,n} + P_{3,n}) \end{aligned} $$

$P_n = P_{1,n} + P_{2,n} + P_{3,n}$ より、

$$ P_{n+1} = \frac{N+2}{N+3} P_n $$

また、初項 $P_1$ は、1回目の試行で赤玉を取り出す確率である。 最初の状態では袋の中に赤玉が3個、白玉が $N$ 個あるため、

$$ P_1 = \frac{3}{N+3} $$

ゆえに、数列 $\{P_n\}$ は初項 $\frac{3}{N+3}$、公比 $\frac{N+2}{N+3}$ の等比数列であるから、その一般項は以下のようになる。

$$ P_n = \frac{3}{N+3} \left( \frac{N+2}{N+3} \right)^{n-1} $$

解説

複数の状態（赤玉の個数）を推移する典型的な確率漸化式の問題である。 本問の $P_{i,n}$ の設定は一見すると複雑に見えるが、これは出題者が(2)の等比数列への帰着を見越して設定した巧妙な誘導である。「確率 $\times$ 条件付き確率」という定義の意味を正確に捉えて素直に立式できれば、全体として非常に少ない計算量で美しい結論に辿り着くことができる。

答え

(1)

$P_{1,n+1} = \frac{1}{N+3} P_{2,n} + \frac{N+2}{N+3} P_{1,n}$ $P_{2,n+1} = \frac{2}{N+3} P_{3,n} + \frac{N+1}{N+3} P_{2,n}$ $P_{3,n+1} = \frac{N}{N+3} P_{3,n}$

(2)

$P_{n+1} = \frac{N+2}{N+3} P_n$ $P_n = \frac{3}{N+3} \left( \frac{N+2}{N+3} \right)^{n-1}$