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京都大学 1996年文系第2問解説

方針・初手

数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ はそれぞれ相乗平均と相加平均を用いて定義されています。 (1) は、相加平均と相乗平均の大小関係を利用して $a_n \leqq b_n$ を示した後、差をとることで各数列の単調性を証明します。 (2) は、$b_{n+1} - a_{n+1}$ の定義式を代入して整理し、$b_n - a_n$ の平方の形を作り出します。その際、分母を小さく評価することで不等式を導きます。 (3) は、(1)(2) で得た性質を用いて、具体的に計算または評価を行います。直接計算できるところまでは計算し、値が複雑になったら (2) の不等式を用いて強力な評価を行います。

解法1

(1)

まず、すべての自然数 $n$ について $0 < a_n \leqq b_n$ が成り立つことを、数学的帰納法により示す。

(i)

$n=1$ のとき

問題の条件 $0 < a \leqq b$ より、$0 < a_1 \leqq b_1$ が成り立つ。

(ii)

$n=k$ のとき

$0 < a_k \leqq b_k$ が成り立つと仮定する。定義より $a_{k+1} = \sqrt{a_k b_k} > 0$ である。また、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ a_{k+1} = \sqrt{a_k b_k} \leqq \frac{a_k + b_k}{2} = b_{k+1} $$

が成り立つ。よって、$n=k+1$ のときも $0 < a_{k+1} \leqq b_{k+1}$ が成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して $0 < a_n \leqq b_n$ が成り立つ。

これを用いて、隣り合う項の差を調べる。

$$ a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n b_n} - a_n = \sqrt{a_n}(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}) \geqq 0 $$

（$\because b_n \geqq a_n > 0$ より $\sqrt{b_n} \geqq \sqrt{a_n}$）

$$ b_n - b_{n+1} = b_n - \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{b_n - a_n}{2} \geqq 0 $$

（$\because b_n \geqq a_n$）

したがって、$a_n \leqq a_{n+1}$ かつ $b_{n+1} \leqq b_n$ である。上で示した $a_{n+1} \leqq b_{n+1}$ とあわせて、すべての自然数 $n$ に対し

$$ a_n \leqq a_{n+1} \leqq b_{n+1} \leqq b_n $$

が成り立つことが示された。（証明終）

(2)

定義より

$$\begin{aligned} b_{n+1} - a_{n+1} &= \frac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} \\ &= \frac{1}{2} (a_n - 2\sqrt{a_n b_n} + b_n) \\ &= \frac{1}{2} (\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2 \end{aligned}$$

ここで、$(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2$ を変形する。

$$\begin{aligned} (\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2 &= \left\{ \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}{\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n}} \right\}^2 \\ &= \frac{(b_n - a_n)^2}{(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})^2} \end{aligned}$$

(1)より $b_n \geqq a_n > 0$ であるから、$\sqrt{b_n} \geqq \sqrt{a_n}$ である。したがって

$$ \sqrt{b_n} + \sqrt{a_n} \geqq \sqrt{a_n} + \sqrt{a_n} = 2\sqrt{a_n} > 0 $$

両辺を2乗して

$$ (\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})^2 \geqq 4a_n $$

この不等式を用いると

$$\begin{aligned} b_{n+1} - a_{n+1} &= \frac{1}{2} \frac{(b_n - a_n)^2}{(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})^2} \\ &\leqq \frac{1}{2} \frac{(b_n - a_n)^2}{4a_n} \\ &= \frac{1}{8a_n}(b_n - a_n)^2 \end{aligned}$$

となり、題意の不等式が成り立つことが示された。（証明終）

(3)

$a_1 = 100, b_1 = 900$ より

$$ b_1 - a_1 = 900 - 100 = 800 \geqq 4 $$

よって、$n=1$ は不適。

$n=2$ のとき

$$ a_2 = \sqrt{100 \times 900} = 300 $$

$$ b_2 = \frac{100 + 900}{2} = 500 $$

$$ b_2 - a_2 = 500 - 300 = 200 \geqq 4 $$

よって、$n=2$ は不適。

$n=3$ のとき

$$ a_3 = \sqrt{300 \times 500} = 100\sqrt{15} $$

$$ b_3 = \frac{300 + 500}{2} = 400 $$

$$ b_3 - a_3 = 400 - 100\sqrt{15} = 100(4 - \sqrt{15}) $$

ここで、$3.8^2 = 14.44$、$3.9^2 = 15.21$ より、$3.8 < \sqrt{15} < 3.9$ であるから

$$ 4 - 3.9 < 4 - \sqrt{15} < 4 - 3.8 $$

$$ 0.1 < 4 - \sqrt{15} < 0.2 $$

各辺を100倍して

$$ 10 < 100(4 - \sqrt{15}) < 20 $$

すなわち $10 < b_3 - a_3 < 20$ となるため、$b_3 - a_3 \geqq 4$ であり、$n=3$ も不適。

$n=4$ のとき

(2)で示した不等式において $n=3$ とすると

$$ b_4 - a_4 \leqq \frac{1}{8a_3}(b_3 - a_3)^2 $$

ここで、$a_3 = 100\sqrt{15} > 100 \times 3.8 = 380$ であり、$b_3 - a_3 < 20$ であるから

$$ \frac{1}{8a_3}(b_3 - a_3)^2 < \frac{1}{8 \times 380} \times 20^2 = \frac{400}{3040} = \frac{5}{38} < 1 $$

したがって

$$ b_4 - a_4 < 1 < 4 $$

となり、$b_4 - a_4 < 4$ をみたす。

以上から、条件をみたす最小の自然数 $n$ は $4$ である。

解説

2つの正の数に対して、相乗平均を次の項の $a$、相加平均を次の項の $b$ と定める操作を繰り返す問題です。このような数列の極限は「算術幾何平均」として知られています。(1)で示されているように、区間 $[a_n, b_n]$ は $n$ が大きくなるにつれてどんどん狭まっていき、ある1つの値に収束します。 (2)の不等式は、その差 $b_n - a_n$ がどれほど急速に小さくなるか（収束のスピード）を評価するものです。前の差の2乗に比例して小さくなるため、非常に強力に減衰します。 (3)では直接計算が面倒な $n=4$ で、(2)の不等式が威力を発揮します。ルートの近似値を用いて適度に不等式で評価を緩めることで、計算を簡略化するテクニックが問われています。