京都大学 1996年 文系 第3問 解説

方針・初手

$A$ を2次正方行列として解答します（当時の高校課程では行列は2次正方行列を前提としているため）。

$A^3 = A$ からすべての条件を満たす行列を列挙するため、ケーリー・ハミルトンの定理で $A^3$ を $A$ の1次式に落とし、$(t^2 - \Delta - 1)A - t\Delta E = O$ の形を導きます。 ここで、$A = kE$（スカラー行列）か否かで場合分けします。$A \neq kE$ のとき $A$ と $E$ は一次独立なので各係数が $0$ になり、$t, \Delta$ の連立方程式に帰着。成分が0以上の整数という制約で候補を絞り込みます。

解法1

行列 $A$ を2次正方行列とし、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおく。 条件より、$a, b, c, d$ は0以上の整数である。 ケーリー・ハミルトンの定理より

$$ A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O $$

ここで、$t = a+d$、$\Delta = ad-bc$ とおくと

$$ A^2 = tA - \Delta E $$

両辺に $A$ を掛けて次数を下げると

$$\begin{aligned} A^3 &= tA^2 - \Delta A \\ &= t(tA - \Delta E) - \Delta A \\ &= (t^2 - \Delta)A - t\Delta E \end{aligned}$$

条件 $A^3 = A$ より

$$ (t^2 - \Delta)A - t\Delta E = A $$

移項して整理すると

$$ (t^2 - \Delta - 1)A - t\Delta E = O \quad \cdots (*) $$

ここで、$A$ が $kE$ （$k$ は実数）の形で表せるか否かで場合分けを行う。

(i)

$A = kE$ の形で表せるとき

$A$ の成分は0以上の整数であるから、$k$ は0以上の整数 $a$ を用いて $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ とおける。 $A^3 = A$ より

$$ \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} $$

よって $a^3 = a$ すなわち $a(a-1)(a+1) = 0$ が成り立つ。 $a \geqq 0$ より $a = 0, 1$ であるから

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

(ii)

$A$ が $kE$ の形で表せないとき

$A \neq kE$ であるから、行列 $A$ と $E$ は一次独立である。 したがって、(*) が成り立つための必要十分条件は、各係数が $0$ になることであるから

$$ t^2 - \Delta - 1 = 0 \quad \text{かつ} \quad t\Delta = 0 $$

第2式より、$t = 0$ または $\Delta = 0$ である。

(ア)

$t = 0$ のとき

$t = a+d = 0$ であり、$a, d \geqq 0$ より $a = 0, d = 0$。 このとき、第1式より $\Delta = -1$ となる。 $\Delta = ad - bc = 0 - bc = -bc$ であるから、$-bc = -1$ より $bc = 1$。 $b, c \geqq 0$ の整数であるから、$b = 1, c = 1$。 よって

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

これは $kE$ の形ではなく、条件を満たす。

(イ)

$\Delta = 0$ のとき

第1式より $t^2 - 1 = 0$ すなわち $t = \pm 1$。 $t = a+d \geqq 0$ より $t = 1$ である。 $a+d = 1$ かつ $a, d \geqq 0$ の整数であるから、$(a, d) = (1, 0)$ または $(0, 1)$。 また、$\Delta = ad - bc = 0$ であり、$a, d$ のどちらかが $0$ であるから、$bc = 0$ となる。 $b, c \geqq 0$ の整数であるから、$b = 0$ または $c = 0$ である。

・$(a, d) = (1, 0)$ のとき

$b=0$ （$c$ は0以上の任意の整数）、または $c=0$ （$b$ は0以上の任意の整数）であるから

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

・$(a, d) = (0, 1)$ のとき

同様に、$b=0$ （$c$ は0以上の任意の整数）、または $c=0$ （$b$ は0以上の任意の整数）であるから

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

これらは $b, c$ がともに $0$ の場合はそれぞれ $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となり、$kE$ の形ではないため条件を満たす。

以上の (i), (ii) をまとめたものが求める行列 $A$ である。

解説

行列の累乗が満たす方程式から、元の行列を決定する典型問題です。 高次の方程式に対しては、ケーリー・ハミルトンの定理 $A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O$ を用いて $A$ の1次式まで次数を下げるのが基本方針となります。 式を整理して $pA + qE = O$ の形を導いた後、「$A \neq kE$ ならば $p=0, q=0$ である」という行列の一次独立性を利用して条件を絞り込む論理展開は、入試数学における頻出パターンです。成分が「0以上の整数」という強い制約があるため、容易に候補を絞り切ることができます。

答え

$k$ を0以上の整数として、以下の行列。

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} $$

（ただし、$k=0$ の場合はそれぞれ重複するものを1つとみなす）