京都大学 1996年 文系 第4問 解説

方針・初手

この定積分では $x$ は定数パラメータとして扱います。絶対値 $|x-t|$ を外すには、積分変数 $t$ の範囲 $[-2, 2]$ に対して $x$ の位置で $x \le -2$、$-2 < x < 2$、$x \ge 2$ の3通りに場合分けします。各場合に定積分を計算して $g(x)$ の具体的な式を求める。 その後、求めた $g(x)$ について、$x \to \pm \infty$ での発散の有無から最小値をもつための $a$ の条件を絞り込み、微分を用いて最小値を計算する。

解法1

1. $g(x)$ の式の導出

積分区間 $[-2, 2]$ における $x$ と $t$ の大小関係により場合分けをする。

(i) $x \le -2$ のとき

区間 $[-2, 2]$ において $t \ge x$ であるから、$|x - t| = -(x - t) = t - x$ となる。

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_{-2}^{2} (t - x)(t^2 - a^2) dt \\ &= \int_{-2}^{2} (t^3 - xt^2 - a^2t + a^2x) dt \end{aligned}$$

ここで、奇関数 $t^3$ と $-a^2t$ の区間 $[-2, 2]$ における定積分は $0$ となるため、

$$\begin{aligned} g(x) &= 2 \int_{0}^{2} (-xt^2 + a^2x) dt \\ &= 2 \left[ -x \frac{t^3}{3} + a^2xt \right]_0^2 \\ &= 2 \left( -\frac{8}{3}x + 2a^2x \right) \\ &= \left( 4a^2 - \frac{16}{3} \right)x \end{aligned}$$

(ii) $x \ge 2$ のとき

区間 $[-2, 2]$ において $t \le x$ であるから、$|x - t| = x - t$ となる。

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_{-2}^{2} (x - t)(t^2 - a^2) dt \\ &= -\int_{-2}^{2} (t - x)(t^2 - a^2) dt \\ &= -\left( 4a^2 - \frac{16}{3} \right)x \\ &= \left( \frac{16}{3} - 4a^2 \right)x \end{aligned}$$

(iii) $-2 < x < 2$ のとき

区間 $[-2, x]$ では $t \le x$ だから $|x - t| = x - t$ となり、区間 $[x, 2]$ では $t \ge x$ だから $|x - t| = t - x$ となる。

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_{-2}^{x} (x - t)(t^2 - a^2) dt + \int_{x}^{2} (t - x)(t^2 - a^2) dt \\ &= \int_{-2}^{x} (-t^3 + xt^2 + a^2t - a^2x) dt - \int_{x}^{2} (-t^3 + xt^2 + a^2t - a^2x) dt \end{aligned}$$

ここで、被積分関数の不定積分を $H(t)$ とおくと、

$$ H(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{x}{3}t^3 + \frac{a^2}{2}t^2 - a^2xt $$

定積分を計算すると $g(x) = \left( H(x) - H(-2) \right) - \left( H(2) - H(x) \right) = 2H(x) - H(2) - H(-2)$ となる。それぞれを計算する。

$$\begin{aligned} H(x) &= -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^4 + \frac{1}{2}a^2x^2 - a^2x^2 = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{2}a^2x^2 \\ H(2) &= -4 + \frac{8}{3}x + 2a^2 - 2a^2x \\ H(-2) &= -4 - \frac{8}{3}x + 2a^2 + 2a^2x \end{aligned}$$

これらを代入して、

$$\begin{aligned} g(x) &= 2\left( \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{2}a^2x^2 \right) - \left( -8 + 4a^2 \right) \\ &= \frac{1}{6}x^4 - a^2x^2 - 4a^2 + 8 \end{aligned}$$

2. 最小値をもつための条件

関数 $g(x)$ が実数全体で最小値をもつかどうかは、$x \to \pm \infty$ のときの極限に依存する。

$x \le -2$ のとき $g(x) = \left( 4a^2 - \frac{16}{3} \right)x$ であるため、もし $4a^2 - \frac{16}{3} > 0$ であれば、$x \to -\infty$ のとき $g(x) \to -\infty$ となり最小値をもたない。最小値をもつためには $4a^2 - \frac{16}{3} \le 0$ が必要である。

同様に、$x \ge 2$ のとき $g(x) = \left( \frac{16}{3} - 4a^2 \right)x$ であるため、もし $\frac{16}{3} - 4a^2 < 0$ であれば、$x \to \infty$ のとき $g(x) \to -\infty$ となり最小値をもたない。最小値をもつためには $\frac{16}{3} - 4a^2 \ge 0$ が必要である。

これらは同じ条件式であり、$4a^2 \le \frac{16}{3}$ すなわち $a^2 \le \frac{4}{3}$ を得る。

問題より $a$ は正の実数であるから、$a$ の範囲は以下のようになる。

$$ 0 < a \le \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

このとき、$x \le -2$ では $g'(x) = 4a^2 - \frac{16}{3} \le 0$ より単調減少（または一定）、$x \ge 2$ では $g'(x) = \frac{16}{3} - 4a^2 \ge 0$ より単調増加（または一定）となるため、$g(x)$ は必ず区間 $[-2, 2]$ 内で最小値をとる。

3. 最小値の計算

$0 < a \le \frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき、区間 $[-2, 2]$ における $g(x)$ の最小値を求める。

$$ g(x) = \frac{1}{6}x^4 - a^2x^2 - 4a^2 + 8 $$

$$ g'(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2a^2x = \frac{2}{3}x(x^2 - 3a^2) = \frac{2}{3}x(x - \sqrt{3}a)(x + \sqrt{3}a) $$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 0, \pm\sqrt{3}a$ のときである。ここで $0 < a \le \frac{2\sqrt{3}}{3}$ より $0 < \sqrt{3}a \le 2$ であるため、$x = \pm\sqrt{3}a$ は区間 $[-2, 2]$ の内部または境界に含まれる。

実数全体における $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

増減表より、$g(x)$ は $x = \pm\sqrt{3}a$ のとき最小値をとる。その値は、

$$\begin{aligned} g(\pm\sqrt{3}a) &= \frac{1}{6}(\pm\sqrt{3}a)^4 - a^2(\pm\sqrt{3}a)^2 - 4a^2 + 8 \\ &= \frac{1}{6}(9a^4) - a^2(3a^2) - 4a^2 + 8 \\ &= \frac{3}{2}a^4 - 3a^4 - 4a^2 + 8 \\ &= -\frac{3}{2}a^4 - 4a^2 + 8 \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む定積分の典型問題です。積分変数は $t$ であり、$x$ は定数として扱うため、積分区間 $[-2, 2]$ に対して $x$ がどこに位置するかで絶対値の外れ方が変わります。 実数全体で最小値を持つ条件は、「端のほうで $-\infty$ に発散しないこと」と言い換えることができ、$x \to \pm \infty$ の挙動を調べて立式するのが定石です。 なお、$-2 < x < 2$ における $g(x)$ の導出は、直接積分する以外にも、積分区間を分割した式を $x$ で微分して $g'(x)$ を先に求め、そこから $g(x)$ を復元するという計算手法も有効です。

答え

$g(x)$ が最小値をもつ $a$ の範囲：

$$ 0 < a \le \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

そのときの最小値：

$$ -\frac{3}{2}a^4 - 4a^2 + 8 $$