京都大学 1998年 文系 第3問 解説

方針・初手

分数不等式を解く基本は、分母を払うか通分して符号を判定することです。本問では左辺と右辺でそれぞれ通分すると、分子の形が $(a^2 - b^2)$ となり非常に見通しが良くなります。 左辺と右辺をそれぞれ通分して整理したのち、片方の辺にまとめてさらに通分します。すると、$x^2$ をひとかたまり（$X$ など）と見なせる不等式に帰着します。あとは、$a, b$ の絶対値の大小関係と、積 $ab$ の符号（同符号か異符号か）によって場合分けを行い、$x$ の範囲を求めます。

解法1

与えられた不等式を整理する。

$$ \frac{x-b}{x+a} - \frac{x-a}{x+b} > \frac{x+a}{x-b} - \frac{x+b}{x-a} $$

左辺を通分すると、

$$ \begin{aligned} \frac{(x-b)(x+b) - (x-a)(x+a)}{(x+a)(x+b)} &= \frac{(x^2-b^2) - (x^2-a^2)}{x^2+(a+b)x+ab} \\ &= \frac{a^2-b^2}{x^2+(a+b)x+ab} \end{aligned} $$

右辺を通分すると、

$$ \begin{aligned} \frac{(x+a)(x-a) - (x+b)(x-b)}{(x-b)(x-a)} &= \frac{(x^2-a^2) - (x^2-b^2)}{x^2-(a+b)x+ab} \\ &= \frac{-(a^2-b^2)}{x^2-(a+b)x+ab} \end{aligned} $$

これらを元の不等式に代入して移項すると、

$$ \frac{a^2-b^2}{x^2+ab+(a+b)x} + \frac{a^2-b^2}{x^2+ab-(a+b)x} > 0 $$

左辺をさらに通分する。分子は

$$ (a^2-b^2) \{ (x^2+ab-(a+b)x) + (x^2+ab+(a+b)x) \} = 2(a^2-b^2)(x^2+ab) $$

分母は

$$ (x^2+ab)^2 - (a+b)^2 x^2 = x^4 + 2abx^2 + a^2b^2 - (a^2+2ab+b^2)x^2 = x^4 - (a^2+b^2)x^2 + a^2b^2 = (x^2-a^2)(x^2-b^2) $$

したがって、不等式は次のように変形できる。

$$ \frac{2(a^2-b^2)(x^2+ab)}{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} > 0 $$

分母が $0$ になってはいけないため、$x \neq \pm a, \pm b$ である。 この条件のもとで、両辺に正の数 $\frac{1}{2}(x^2-a^2)^2 (x^2-b^2)^2$ を掛けると、

$$ (a^2-b^2)(x^2+ab)(x^2-a^2)(x^2-b^2) > 0 $$

ここで $X = x^2$ （$X \ge 0, X \neq a^2, b^2$）とおくと、

$$ (a^2-b^2)(X+ab)(X-a^2)(X-b^2) > 0 \quad \cdots (*) $$

これを $a, b$ の条件によって場合分けして解く。$a \neq b$ より、$a^2 = b^2$ となるのは $a = -b$ のときのみである。

(I) $a = -b$ のとき $a^2 - b^2 = 0$ となり、不等式は $0 > 0$ となるため解なし。

(II) $|a| > |b|$ のとき $a^2 > b^2$ より $a^2 - b^2 > 0$。不等式 $(*)$ の両辺をこれで割ると

$$ (X+ab)(X-a^2)(X-b^2) > 0 $$

(i) $ab > 0$ のとき 大小関係は $-ab < 0 < b^2 < a^2$ である。 $X \ge 0$ を満たす解は、$0 \le X < b^2$ または $X > a^2$ すなわち $0 \le x^2 < b^2$ または $x^2 > a^2$ これを解いて、$-|b| < x < |b|$ または $x < -|a|, |a| < x$

(ii) $ab < 0$ のとき $a, b$ は異符号であるから、$a^2 - (-ab) = a(a+b)$ および $(-ab) - b^2 = -b(a+b)$ の符号を調べると、いずれの場合も正となるため $b^2 < -ab < a^2$ が成り立つ。 $X \ge 0$ を満たす解は、$b^2 < X < -ab$ または $X > a^2$ すなわち $b^2 < x^2 < -ab$ または $x^2 > a^2$ これを解いて、$-\sqrt{-ab} < x < -|b|$ または $|b| < x < \sqrt{-ab}$ または $x < -|a|, |a| < x$

(III) $|a| < |b|$ のとき $a^2 < b^2$ より $a^2 - b^2 < 0$。不等式 $(*)$ の両辺をこれで割ると

$$ (X+ab)(X-a^2)(X-b^2) < 0 $$

(iii) $ab > 0$ のとき 大小関係は $-ab < 0 < a^2 < b^2$ である。 $X \ge 0$ を満たす解は、$a^2 < X < b^2$ すなわち $a^2 < x^2 < b^2$ これを解いて、$-|b| < x < -|a|$ または $|a| < x < |b|$

(iv) $ab < 0$ のとき (ii)と同様に大小関係を調べると、$a^2 < -ab < b^2$ が成り立つ。 $X \ge 0$ を満たす解は、$0 \le X < a^2$ または $-ab < X < b^2$ すなわち $0 \le x^2 < a^2$ または $-ab < x^2 < b^2$ これを解いて、$-|a| < x < |a|$ または $-|b| < x < -\sqrt{-ab}$ または $\sqrt{-ab} < x < |b|$

解説

一見すると複雑な分数不等式ですが、左辺と右辺でそれぞれ通分すると構造が見えてきます。本問のポイントは通分後の式を $x^2$ を変数とする式（$X = x^2$）とみなして処理することです。 不等式を解く際、変数 $X$ の定義域（$X \ge 0$）を忘れないように注意が必要です。また、方程式の解となる $-ab, a^2, b^2$ の大小関係を判定するプロセスは、文字の符号や絶対値の大小による条件分岐を漏れなく記述する論理力が問われます。

答え

• $a = -b$ のとき 解なし
• $|a| > |b|$ かつ $ab > 0$ のとき $x < -|a|, \ -|b| < x < |b|, \ |a| < x$
• $|a| > |b|$ かつ $ab < 0$ のとき $x < -|a|, \ -\sqrt{-ab} < x < -|b|, \ |b| < x < \sqrt{-ab}, \ |a| < x$
• $|a| < |b|$ かつ $ab > 0$ のとき $-|b| < x < -|a|, \ |a| < x < |b|$
• $|a| < |b|$ かつ $ab < 0$ のとき $-|b| < x < -\sqrt{-ab}, \ -|a| < x < |a|, \ \sqrt{-ab} < x < |b|$