京都大学 2021年 文系 第5問 解説

方針・初手

素数 $p$ に関する式の値が素数にならない（合成数になる）ことを示す問題です。

このような問題では、具体的な小さな素数（$p = 2, 3, 5, \dots$）を代入して実験し、規則性を見つけるのが鉄則です。計算してみると、ある特定の数で割り切れる（倍数になる）ことが予想できるため、合同式を用いてその数の剰余で場合分けを行います。

解法1

$p$ が素数のとき、$p=3$ の場合と $p \neq 3$ の場合に分けて考える。

(i) $p = 3$ のとき

$$ p^4 + 14 = 81 + 14 = 95 $$

$95 = 5 \times 19$ より、1と自分自身以外の約数をもつため、素数ではない。

(ii) $p \neq 3$ のとき

$p$ は 3 で割り切れない素数（すなわち $p=2$ または $p \geqq 5$ の素数）であるから、整数 $k$ を用いて $p = 3k \pm 1$ と表すことができる。

これを $p^4 + 14$ に代入すると、

$$ p^4 + 14 = (3k \pm 1)^4 + 14 $$

二項定理を用いて展開し、3 の倍数となる項をまとめると、

$$\begin{aligned} (3k \pm 1)^4 + 14 &= 81k^4 \pm 108k^3 + 54k^2 \pm 12k + 1 + 14 \\ &= 81k^4 \pm 108k^3 + 54k^2 \pm 12k + 15 \\ &= 3(27k^4 \pm 36k^3 + 18k^2 \pm 4k + 5) \end{aligned}$$

ここで、$27k^4 \pm 36k^3 + 18k^2 \pm 4k + 5$ は整数であるから、$p^4 + 14$ は 3 の倍数である。

また、$p \neq 3$ の素数のとき $p \geqq 2$ であるから、

$$ p^4 + 14 \geqq 2^4 + 14 = 30 > 3 $$

となる。

したがって、$p^4 + 14$ は 3 より大きい 3 の倍数となるため、素数ではない。

(i), (ii) より、すべての素数 $p$ において $p^4 + 14$ は素数ではないことが示された。$\square$

解法2

合同式を用いて解答を記述することもできる。法を 3 とする。

(i) $p = 3$ のとき

解法1と同様に $p^4 + 14 = 95 = 5 \times 19$ であり、素数ではない。

(ii) $p \neq 3$ のとき

$p$ は 3 の倍数ではないので、$p \equiv 1$ または $p \equiv 2 \pmod{3}$ である。

いずれの場合でも平方すると

$$ p^2 \equiv 1 \pmod{3} $$

となる。さらに両辺を平方すると

$$ p^4 \equiv 1 \pmod{3} $$

が成り立つ。

したがって、

$$ p^4 + 14 \equiv 1 + 14 = 15 \equiv 0 \pmod{3} $$

となり、$p^4 + 14$ は 3 の倍数であることがわかる。

$p \geqq 2$ より $p^4 + 14 \geqq 30 > 3$ であるから、$p^4 + 14$ は 3 より大きい 3 の倍数であり、素数ではない。

(i), (ii) より、題意は示された。$\square$

解説

「素数を代入した式が素数にならないことを示せ」というタイプの整数問題の典型です。

実験として $p=2, 3, 5$ を代入すると、それぞれ $30, 95, 639$ となり、いずれも 3 の倍数になっています。特に $p=2$ で $30$、$p=5$ で $639$ と 3 の倍数が頻出することから、「3 で割った余りに着目する（法を 3 にする）」という方針が立ちます。

解法2のように合同式を使うと記述が非常にスッキリまとまります。また、倍数であることを示した後は、「その数自身（この場合は 3）になってしまうと素数である可能性があるため、3 より大きいことを必ず明記する」という論証のステップを忘れないようにしましょう。

答え

略（解法1の証明を参照）