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京都大学 1970年文系第4問解説

方針・初手

与えられた等式条件を利用して変数を1つ消去し、残りの不等式条件から $z$ の満たすべき範囲を $x$ の関数として整理する。$z$ の最小値を求めるには、複数の制約が同時に成立する条件を考察する。

解法1

条件 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ より、$\frac{1}{y}$ を $x$ で表すと以下のようになる。

$$ \frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} $$

条件 $x > 1$ より $x - 1 > 0$ であり、$x > 0$ でもあるため、$\frac{1}{y} > 0$ すなわち $y > 0$ である。したがって、$y$ について解くと次のようになる。

$$ y = \frac{x}{x-1} $$

次に、$z$ に関する2つの不等式 $xz \geqq a$ と $yz \geqq 2$ を考える。 $x > 1 > 0$ および $y > 0$ であるから、両辺をそれぞれ $x, y$ で割っても不等号の向きは変わらない。

$$ z \geqq \frac{a}{x} $$

$$ z \geqq \frac{2}{y} $$

後者の不等式に $y = \frac{x}{x-1}$ を代入する。

$$ z \geqq 2 \cdot \frac{x-1}{x} = 2 - \frac{2}{x} $$

これらより、$z$ は $x > 1$ において、以下の2つの条件を同時に満たす必要がある。

$$ z \geqq \frac{a}{x} \quad \text{かつ} \quad z \geqq 2 - \frac{2}{x} $$

すなわち、$z$ はこれら2つの値の大きい方以上でなければならない。

$$ z \geqq \max \left( \frac{a}{x}, 2 - \frac{2}{x} \right) $$

ここで、$f(x) = \frac{a}{x}$、$g(x) = 2 - \frac{2}{x}$ とおく。 $a > 2 > 0$ であるから、$x > 1$ の範囲において $f(x)$ は単調に減少し、$g(x)$ は単調に増加する。したがって、$\max(f(x), g(x))$ は $f(x) = g(x)$ となる $x$ において最小値をとる。 $f(x) = g(x)$ を解く。

$$ \frac{a}{x} = \frac{2(x-1)}{x} $$

$x > 1$ より両辺に $x$ をかけて整理する。

$$ a = 2x - 2 $$

$$ x = \frac{a+2}{2} $$

条件 $a > 2$ より、$x = \frac{a+2}{2} > \frac{2+2}{2} = 2 > 1$ となり、$x > 1$ を満たす。このとき、$z$ の最小値の候補となる値は $f\left(\frac{a+2}{2}\right)$ である。

$$ z = \frac{a}{\frac{a+2}{2}} = \frac{2a}{a+2} $$

この $z$ の値が条件 $1 < z < 2$ を満たすか確認する。

$$ z - 1 = \frac{2a}{a+2} - 1 = \frac{2a - (a+2)}{a+2} = \frac{a-2}{a+2} $$

$a > 2$ より $a - 2 > 0$ かつ $a + 2 > 0$ であるから、$z - 1 > 0$ すなわち $z > 1$ となる。また、$2 - z$ を計算する。

$$ 2 - z = 2 - \frac{2a}{a+2} = \frac{2(a+2) - 2a}{a+2} = \frac{4}{a+2} $$

$a > 2$ より $a + 2 > 0$ であるから、$2 - z > 0$ すなわち $z < 2$ となる。よって、$1 < z < 2$ を満たす。

このときの $y$ の値を求める。

$$ y = \frac{\frac{a+2}{2}}{\frac{a+2}{2} - 1} = \frac{\frac{a+2}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{a+2}{a} $$

以上より、すべての条件を満たしつつ $z$ を最小にする $x, y, z$ の値が求められた。

解説

独立した複数の不等式条件から、ある変数の最大・最小を求める典型的な問題である。等式条件を用いて変数を消去し、求める変数 $z$ の範囲を1つの変数 $x$ の関数として帰着させるのが定石となる。本問では、$z$ が単調減少関数と単調増加関数の両方以上でなければならないという形になるため、それらのグラフの交点が最小値を与えることに気づければ、計算量は少なく済む。求めた解が $1 < z < 2$ などの他の条件も忘れずに満たしているか、十分性の確認を行うことが重要である。