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京都大学 2000年文系第5問解説

方針・初手

右辺の定積分 $2 \int_0^1 |t^2 - at| dt$ は、被積分関数内の絶対値の符号によって場合分けが必要です。区間 $0 \leqq t \leqq 1$ における $t^2 - at = t(t-a)$ の符号は $a$ の値によって変わるため、$a \leqq 0$、$0 < a < 1$、$a \geqq 1$ の3つのケースで積分を計算します。その後、方程式の左辺 $y = x^2 - ax$ と、求めた右辺の定数値 $y = C(a)$ （ここで $C(a) = 2\int_0^1 |t^2-at|dt$）のグラフを描き、$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲での共有点の個数を調べることで解の個数を決定します。

解法1

右辺の定積分を $I(a) = \int_0^1 |t^2 - at| dt$ とおく。被積分関数内の符号は $t(t-a)$ であり、$0 \leqq t \leqq 1$ における符号は $a$ の値によって変わるため、場合分けを行う。

(i) $a \leqq 0$ のとき

$0 \leqq t \leqq 1$ において $t-a \geqq 0$ であるから、$t^2 - at \geqq 0$ となる。

$$ \begin{aligned} 2I(a) &= 2 \int_0^1 (t^2 - at) dt \\ &= 2 \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{a}{2}t^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{2}{3} - a \end{aligned} $$

方程式は $x^2 - ax = \frac{2}{3} - a$ となる。左辺を $f(x) = x^2 - ax$ とおくと、軸は $x = \frac{a}{2} \leqq 0$ であるため、$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で $f(x)$ は単調増加する。値域は $f(0) = 0$ から $f(1) = 1-a$ までとなる。ここで、右辺の定数 $\frac{2}{3} - a$ と値域の端点を比較すると、

$$ \left(\frac{2}{3} - a\right) - 0 = \frac{2}{3} - a > 0 \quad (\text{なぜなら } a \leqq 0) $$

$$ (1-a) - \left(\frac{2}{3} - a\right) = \frac{1}{3} > 0 $$

したがって $0 < \frac{2}{3} - a < 1-a$ を満たすので、放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = \frac{2}{3} - a$ は $0 \leqq x \leqq 1$ においてただ1つの交点をもつ。よって、解は1個である。

(ii) $a \geqq 1$ のとき

$0 \leqq t \leqq 1$ において $t-a \leqq 0$ であるから、$t^2 - at \leqq 0$ となる。

$$ \begin{aligned} 2I(a) &= 2 \int_0^1 (-t^2 + at) dt \\ &= 2 \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{a}{2}t^2 \right]_0^1 \\ &= a - \frac{2}{3} \end{aligned} $$

$a \geqq 1$ より、右辺は $a - \frac{2}{3} \geqq \frac{1}{3} > 0$ である。一方、左辺 $f(x) = x^2 - ax = x(x-a)$ は $0 \leqq x \leqq 1$ において、$x \leqq 1 \leqq a$ より $x-a \leqq 0$ であるから、$f(x) \leqq 0$ となる。したがって、正の定数である右辺と $0$ 以下の左辺が等しくなることはなく、交点をもたない。よって、解は0個である。

(iii) $0 < a < 1$ のとき

$0 \leqq t \leqq a$ では $t^2 - at \leqq 0$、$a \leqq t \leqq 1$ では $t^2 - at \geqq 0$ となるため、積分区間を分割する。

$$ \begin{aligned} 2I(a) &= 2 \left( \int_0^a (-t^2 + at) dt + \int_a^1 (t^2 - at) dt \right) \\ &= 2 \left( \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{a}{2}t^2 \right]_0^a + \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{a}{2}t^2 \right]_a^1 \right) \\ &= 2 \left( -\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{3} - \frac{a}{2} - \frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 \right) \\ &= 2 \left( \frac{1}{3}a^3 - \frac{a}{2} + \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{2}{3}a^3 - a + \frac{2}{3} \end{aligned} $$

左辺 $f(x) = x^2 - ax = \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4}$ の $0 \leqq x \leqq 1$ におけるグラフを考える。軸は $x = \frac{a}{2}$ であり、$0 < \frac{a}{2} < \frac{1}{2}$ を満たす。端点の値は $f(0) = 0$、$f(1) = 1-a > 0$ であり、$f\left(\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^2}{4}$ が極小値かつ最小値となる。よって $f(x)$ は $0$ から $-\frac{a^2}{4}$ へ減少し、その後 $1-a$ まで増加する。

右辺の定数を $C(a) = \frac{2}{3}a^3 - a + \frac{2}{3}$ とおき、$C(a)$ のとり得る値の範囲を調べる。まず $C(a)$ と $0$ の大小を比較する。$g(a) = 2a^3 - 3a + 2$ とおくと、$C(a) = \frac{g(a)}{3}$ である。

$$ g'(a) = 6a^2 - 3 = 3(\sqrt{2}a - 1)(\sqrt{2}a + 1) $$

$0 < a < 1$ において、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で $g(a)$ は極小値をとる。

$$ g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}} + 2 = 2 - \sqrt{2} > 0 $$

よって、$0 < a < 1$ において常に $C(a) > 0$ である。 $C(a) > 0$ であるため、直線 $y = C(a)$ は $x$ 軸より上にあり、グラフの極小部分（$y \leqq 0$ の部分）と交わることはない。したがって、交点は $f(1) = 1-a$ との大小関係のみで決まり、交点の個数は1個または0個となる。

$C(a)$ と $1-a$ の大小を比較する。

$$ C(a) - (1-a) = \frac{2}{3}a^3 - a + \frac{2}{3} - (1-a) = \frac{2}{3}a^3 - \frac{1}{3} = \frac{2a^3 - 1}{3} $$

・$2a^3 - 1 \leqq 0$ すなわち $0 < a \leqq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき $C(a) \leqq 1-a$ となり、$0 < C(a) \leqq 1-a$ を満たすので、交点は1個である。

・$2a^3 - 1 > 0$ すなわち $\frac{1}{\sqrt[3]{2}} < a < 1$ のとき $C(a) > 1-a$ となり、最大値 $1-a$ を超えるため、交点は0個である。

(i)〜(iii) より、解の個数は以下のようになる。

$a \leqq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき 1個 $a > \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき 0個

解説

絶対値を含む定積分と方程式の解の配置を組み合わせた総合問題です。絶対値を外すためには、被積分関数 $t(t-a)$ の符号が積分区間 $0 \leqq t \leqq 1$ でどのように変わるかを把握する必要があり、積分区間と $a$ の位置関係で場合分けをします。その後は、定数分離された方程式 $f(x) = C(a)$ の実数解の個数をグラフから読み取る定石に従います。(iii) の $0 < a < 1$ のケースで、極小値との交わり（解が2個になる可能性）がないことを微分を用いて丁寧に棄却する論理性が問われます。