京都大学 2002年 文系 第2問 解説

方針・初手

与えられた頂点の関係式 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ を、点 P, Q, R, S の位置ベクトル $\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}, \overrightarrow{OS}$ を用いた式に書き換えます。空間ベクトルにおける「4点が同一平面上にある条件（共面条件）」、すなわち $\overrightarrow{OS} = \alpha\overrightarrow{OP} + \beta\overrightarrow{OQ} + \gamma\overrightarrow{OR}$ と表したときの係数の和が $\alpha + \beta + \gamma = 1$ になるという性質を利用して等式を導きます。

解法1

四角錐 OABCD において、頂点 O は底面 ABCD を含む平面上にはない。したがって、4点 O, A, B, C は同一平面上になく、3つのベクトル $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ は一次独立である。また、$p, q, r \neq 0$ より $\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}$ はそれぞれ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ の $0$ でない実数倍であるから、$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}$ も一次独立である。

与えられた条件式 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OD}$ について解くと、

$$ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $$

$p, q, r, s$ は $0$ と異なる実数であるから、条件で与えられた式はそれぞれ次のように変形できる。

$\overrightarrow{OA} = \dfrac{1}{p}\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{q}\overrightarrow{OQ}$、$\overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{r}\overrightarrow{OR}$、$\overrightarrow{OD} = \dfrac{1}{s}\overrightarrow{OS}$

これらを先の $\overrightarrow{OD}$ の式に代入すると、

$$ \frac{1}{s}\overrightarrow{OS} = \frac{1}{p}\overrightarrow{OP} - \frac{1}{q}\overrightarrow{OQ} + \frac{1}{r}\overrightarrow{OR} $$

両辺に $s$ を掛けて $\overrightarrow{OS}$ について整理する。

$$ \overrightarrow{OS} = \frac{s}{p}\overrightarrow{OP} - \frac{s}{q}\overrightarrow{OQ} + \frac{s}{r}\overrightarrow{OR} \quad \cdots (1) $$

ここで、4点 P, Q, R, S は同一平面上にあるため、点 S は平面 PQR 上の点である。したがって、$\overrightarrow{OS}$ を一次独立な $\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}$ を用いて表したとき、その係数の和は $1$ にならなければならない。(1)の表し方は一意に定まるため、次が成り立つ。

$$ \frac{s}{p} - \frac{s}{q} + \frac{s}{r} = 1 $$

両辺を $s \ (\neq 0)$ で割ると、

$$ \frac{1}{p} - \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{1}{s} $$

$-\dfrac{1}{q}$ を右辺に移項して、

$$ \frac{1}{p} + \frac{1}{r} = \frac{1}{q} + \frac{1}{s} $$

が成立する。（証明終）

解説

空間ベクトルの共面条件 $\overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB} + \gamma\overrightarrow{OC}$ かつ $\alpha + \beta + \gamma = 1$ を用いる非常にシンプルな典型問題です。与えられた条件式から $\overrightarrow{OD}$ を消去し、それを $\overrightarrow{OS}$ に置き換えることで、自然と共面条件が使える形が作れます。

記述式の答案を作成する上で重要なのは、係数の和が $1$ になることを適用する前に、「$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}$ が一次独立であること（O, P, Q, R が同一平面上にないこと）」をしっかり断っておくことです。もし O が平面 PQR 上にあった場合、一次独立性が崩れ、表し方が一意に定まらず、係数の和が $1$ になるとは限らなくなるためです。本問では「四角錐」という設定がその非共面性を保証しています。

答え

略（解法1の証明を参照）