京都大学 2003年 文系 第4問 解説

方針・初手

$x^2$ と $y^2$ を $2p$ で割った余りが等しいということは、差 $x^2 - y^2$ が $2p$ の倍数になるということです。これを因数分解して $(x-y)(x+y) = 2pk$ とし、$p$ が素数であること、および $x, y$ の範囲から各因数の候補を絞り込みます。その際、$x+y$ と $x-y$ の和が $2x$（偶数）であることから両者の偶奇が一致する、という事実を使うと場合分けが大幅に減ります。

解法1

条件より $x^2 - y^2$ は $2p$ の倍数であるから、ある整数 $k$ を用いて

$$ (x-y)(x+y) = 2pk \quad \cdots \text{①} $$

と表せる。$p$ は素数であるから、$p$ は $x-y$ または $x+y$ の少なくとも一方を割り切る。

$0 \le x \le p$, $0 \le y \le p$ より

$$ 0 \le x+y \le 2p \quad \cdots \text{②}, \qquad -p \le x-y \le p \quad \cdots \text{③} $$

$(x+y)+(x-y) = 2x$ は偶数であるから $x+y$ と $x-y$ の偶奇は一致する。①より積は偶数なので、両者はともに偶数でなければならない。$p$ は3以上の素数であるから奇数である。

(i)

$p$ が $x-y$ を割り切る場合

③の範囲の $p$ の倍数は $-p, 0, p$。$p$ は奇数であるから $-p, p$ は奇数となり「$x-y$ が偶数」という事実に矛盾する。よって $x-y = 0$、すなわち $x = y$。

(ii)

$p$ が $x+y$ を割り切る場合

②の範囲の $p$ の倍数は $0, p, 2p$。$p$ は奇数であるから $x+y = p$ は「$x+y$ が偶数」に矛盾する。

• $x+y = 0$ のとき：$x = y = 0$、すなわち $x = y$
• $x+y = 2p$ のとき：$x = y = p$、すなわち $x = y$

以上 (i)(ii) のいかなる場合においても $x = y$ が示された。

解説

「合同式（余りが等しい）」を「差が倍数」に翻訳し、因数分解して約数・倍数の性質に持ち込む整数問題の定石に忠実な解法です。$x+y$ と $x-y$ の偶奇が一致するという整数問題の頻出テクニックを用いると、奇数である $\pm p$ や $p$ が候補から外れ、場合分けが劇的に減ります。

答え

略（解法1の証明を参照）