京都大学 2006年 理系 第4問 解説

方針・初手

「$n=3$ の場合に限る」という結論から、3を法とする余り（合同式）に注目して場合分けを行います。$n$ が3の倍数でない（すなわち3で割った余りが1または2である）とき、$n^2+2$ が必ず3の倍数になることを示せば、それが合成数であることを証明できます。

解法1

すべての自然数 $n$ は、3を法とする合同式を用いて $n \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$ のいずれかに分類される。$n \geqq 2$ において、$n$ と $n^2+2$ がともに素数となる条件を考える。

(i)

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき

$n$ は3の倍数である。条件より $n$ は素数であるから、$n=3$ に限られる。このとき、$n^2+2 = 9+2 = 11$ となり、11は素数である。よって $n=3$ は条件を満たす。

(ii)

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき

$$ n^2+2 \equiv 1^2+2 = 3 \equiv 0 \pmod{3} $$

したがって、$n^2+2$ は3の倍数である。また、$n \geqq 2$ より $n^2+2 \geqq 6 > 3$ であるため、$n^2+2$ は「3より大きい3の倍数」となり、素数ではない。よって、条件を満たす $n$ は存在しない。

(iii)

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき

$$ n^2+2 \equiv 2^2+2 = 6 \equiv 0 \pmod{3} $$

したがって、$n^2+2$ は3の倍数である。（ii） と同様に、$n^2+2$ は「3より大きい3の倍数」となり、素数ではない。よって、条件を満たす $n$ は存在しない。

(i)〜(iii) より、2以上の自然数 $n$ に対し、$n$ と $n^2+2$ がともに素数になるのは $n=3$ の場合に限ることが示された。

解法2

非負整数 $k$ を用いて $n=3k,\ 3k+1,\ 3k+2$ のいずれかで表せる（$n=3k$ のとき $k \geqq 1$）。

(i)

$n=3k$ のとき

$n$ が素数となるのは $k=1$、すなわち $n=3$ のときに限られる。このとき $n^2+2 = 11$ で素数である。

(ii)

$n=3k+1$ のとき

$$ n^2+2 = (3k+1)^2+2 = 9k^2+6k+3 = 3(3k^2+2k+1) $$

$k=0$ のとき $n=1$ となり「2以上の自然数」の条件に反するから $k \geqq 1$。このとき $3k^2+2k+1 \geqq 6$ であり、$n^2+2$ は3より大きい3の倍数となるから素数ではない。

(iii)

$n=3k+2$ のとき

$$ n^2+2 = (3k+2)^2+2 = 9k^2+12k+6 = 3(3k^2+4k+2) $$

$k \geqq 0$ より $3k^2+4k+2 \geqq 2$ であり、$n^2+2$ は3より大きい3の倍数となるから素数ではない。

以上より、題意は示された。

解説

整数問題において、「ある特定の数に限る」ことを示すための定番アプローチです。式の中に「$+2$」があることや、結論が「$n=3$」であることから、「3を法として考える」という発想が自然に出てくるようにしておきましょう。

記述の際は「3の倍数だから素数ではない」と締めくくるのではなく、「3より大きい3の倍数だから素数ではない」と、自身の値（3）をとる可能性を排除する記述を忘れないようにしましょう。

答え

題意は示された（$n=3$ の場合に限る）。