京都大学 2006年 文系 第3問 解説

方針・初手

$Q(x)$ が2次式であることに着目し、$Q(x)=0$ の解を文字でおいて因数定理と背理法を組み合わせる方法と、$P(x)$ を $Q(x)$ で割った余りを1次以下の整式として設定し、式を展開して係数や次数を比較する方法があります。どちらも整式の割り算における基本方針です。

解法1

2次方程式 $Q(x)=0$ が重解を持たない、すなわち異なる2つの複素数解 $\alpha, \beta$ を持つと仮定する。

$Q(x)$ は2次式であるから、0でない定数 $c$ を用いて

$$ Q(x) = c(x-\alpha)(x-\beta) $$

と表せる。仮定より、$\{P(x)\}^2$ は $Q(x)$ で割り切れるから、ある整式 $R(x)$ が存在して

$$ \{P(x)\}^2 = Q(x)R(x) $$

が成り立つ。この恒等式に $x=\alpha$ を代入すると、

$$ \{P(\alpha)\}^2 = Q(\alpha)R(\alpha) = 0 \cdot R(\alpha) = 0 $$

よって $P(\alpha) = 0$ となる。同様に、$x=\beta$ を代入すると $P(\beta) = 0$ となる。

因数定理より、$P(x)$ は $x-\alpha$ および $x-\beta$ を因数に持つ。$\alpha \neq \beta$ であるから、$P(x)$ は $(x-\alpha)(x-\beta)$ で割り切れる。すなわち、ある整式 $S(x)$ が存在して

$$ P(x) = (x-\alpha)(x-\beta)S(x) $$

と表せる。ここで、$(x-\alpha)(x-\beta) = \dfrac{1}{c}Q(x)$ であるから、

$$ P(x) = \frac{1}{c}Q(x)S(x) = Q(x) \left\{ \frac{1}{c} S(x) \right\} $$

となる。$\dfrac{1}{c} S(x)$ は整式であるため、これは $P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れることを意味する。

しかし、これは問題の条件「整式 $P(x)$ は $Q(x)$ では割り切れない」に矛盾する。

したがって、仮定は誤りであり、2次方程式 $Q(x)=0$ は重解を持つ。

解法2

$P(x)$ を2次式 $Q(x)$ で割ったときの商を $S(x)$、余りを $ax+b$（$a, b$ は定数）とする。

$$ P(x) = Q(x)S(x) + ax + b $$

条件「$P(x)$ は $Q(x)$ では割り切れない」より、余り $ax+b$ は恒等的に $0$ にはならない。すなわち $a=0$ かつ $b=0$ ではない。

両辺を2乗すると、

$$ \{P(x)\}^2 = \{Q(x)S(x) + (ax+b)\}^2 $$

$$ = Q(x) \left[ Q(x)\{S(x)\}^2 + 2S(x)(ax+b) \right] + (ax+b)^2 $$

条件「$\{P(x)\}^2$ は $Q(x)$ で割り切れる」より、$(ax+b)^2$ が $Q(x)$ で割り切れる必要がある。

$(ax+b)^2$ は高々2次の整式である。ここで、$a=0$ とすると $(ax+b)^2 = b^2$（定数）となるが、$b \neq 0$ であるから0でない定数が2次式 $Q(x)$ で割り切れることはなく矛盾する。

よって $a \neq 0$ であり、$(ax+b)^2$ は2次式である。2次式が2次式 $Q(x)$ で割り切れるとき、その商は0でない定数 $k$ となるから、

$$ (ax+b)^2 = k Q(x) $$

と表せる。これを変形すると、

$$ Q(x) = \frac{1}{k} (ax+b)^2 = \frac{a^2}{k} \left( x + \frac{b}{a} \right)^2 $$

となり、$Q(x)$ は完全平方式で表される。したがって、2次方程式 $Q(x)=0$ は $x = -\dfrac{b}{a}$ を重解として持つ。

解説

整式の割り算に関する典型的な証明問題です。「整式 $A(x)$ が $B(x)$ で割り切れる」という条件は、主に以下の2つのアプローチで処理します。

因数定理の利用（解法1）：$B(x)=0$ の解 $\alpha$ に着目し、$A(\alpha)=0$ を導く方法。解の重複度（重解かどうか）を調べる際に有効です。

割り算の等式の利用（解法2）：$A(x) = B(x)Q(x) + R(x)$ と置き、余り $R(x)$ の次数が $B(x)$ の次数より低いことを利用して恒等式として係数や次数を比較する方法。

背理法の仮定の立て方や、次数の議論で「$a=0$ の場合の排除」を忘れないようにすることが記述のポイントです。

答え

略（解法1の証明を参照）