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京都大学 2006年文系第2問解説

方針・初手

点 $D$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、点 $H$ は線分 $DE$ の中点になります。この点 $H$ の座標を求めるのが最初の目標です。平面上の2つのベクトル $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{DH}$ がそれぞれ垂直になる条件から連立方程式を立てる方法（解法1）と、平面の法線ベクトルを求めて平面の方程式を利用する方法（解法2）があります。

解法1

点 $D$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。点 $H$ は平面 $ABC$ 上にあるため、実数 $s, t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AH} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} $$

と表せる。与えられた座標より、

$$ \overrightarrow{AB} = (-1, -1, 1), \quad \overrightarrow{AC} = (-2, 0, 2) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{AH} = s(-1, -1, 1) + t(-2, 0, 2) = (-s-2t,\ -s,\ s+2t) $$

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH} = (2-s-2t,\ 1-s,\ s+2t) $$

$$ \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OD} = (1-s-2t,\ -s-2,\ s+2t-7) $$

直線 $DH$ は平面 $ABC$ に垂直であるから、$\overrightarrow{DH} \perp \overrightarrow{AB}$ かつ $\overrightarrow{DH} \perp \overrightarrow{AC}$ が成り立つ。

$\overrightarrow{DH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ より、

$$ -(1-s-2t) - (-s-2) + (s+2t-7) = 0 \implies 3s + 4t - 6 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$\overrightarrow{DH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ より、

$$ -2(1-s-2t) + 0 + 2(s+2t-7) = 0 \implies s + 2t - 4 = 0 \quad \cdots \text{②} $$

②より $s = 4 - 2t$。①に代入して、

$$ 3(4 - 2t) + 4t - 6 = 0 \implies -2t = -6 \iff t = 3 $$

$$ s = 4 - 6 = -2 $$

したがって、

$$ \overrightarrow{DH} = (1-(-2)-6,\ -(-2)-2,\ -2+6-7) = (-3,\ 0,\ -3) $$

点 $E$ は平面 $ABC$ に関して点 $D$ と対称であるから $\overrightarrow{DE} = 2\overrightarrow{DH}$ が成り立つ。

$$ \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OD} + 2\overrightarrow{DH} = (1, 3, 7) + 2(-3, 0, -3) = (-5, 3, 1) $$

よって、点 $E$ の座標は $(-5, 3, 1)$ である。

解法2

平面 $ABC$ の法線ベクトルの一つを $\vec{n} = (a, b, c)$ とおく。

$\vec{n} \perp \overrightarrow{AB}$：$-a - b + c = 0$

$\vec{n} \perp \overrightarrow{AC}$：$-2a + 2c = 0 \implies a = c$

2式より $b = 0$。$a=c=1$ として $\vec{n} = (1, 0, 1)$ ととれる。

点 $P(x, y, z)$ が平面 $ABC$ 上にある条件は $\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n} = 0$、すなわち

$$ x + z - 2 = 0 $$

これが平面 $ABC$ の方程式である。

点 $E$ の位置ベクトルは実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OD} + k\vec{n}$ と表せる。線分 $DE$ の中点 $H$ の座標が平面 $ABC$ の方程式を満たすので、

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OD} + \frac{k}{2}\vec{n} = \left( 1+\frac{k}{2},\ 3,\ 7+\frac{k}{2} \right) $$

$$ \left(1+\frac{k}{2}\right) + \left(7+\frac{k}{2}\right) - 2 = 0 \implies k + 6 = 0 \iff k = -6 $$

$$ \overrightarrow{OE} = (1, 3, 7) - 6(1, 0, 1) = (-5, 3, 1) $$

よって、点 $E$ の座標は $(-5, 3, 1)$ である。

解説

平面に関する対称点の座標を求める空間ベクトルの典型問題です。

解法1は、平面上の任意の点を2つの1次独立なベクトルで表す「ベクトルの基本定理」に忠実なアプローチです。解法2は、法線ベクトルを求めて「平面の方程式」を活用するアプローチです。未知数が $k$ の1つだけで済むため、計算量が少なくなるメリットがあります。国公立二次試験では解法2の手法が非常に強力な武器になります。