問1

方針・初手

直線 $l$ 上の点 $H$ の座標を、媒介変数 $t$ を用いて表します。点 $H$ は点 $C$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足であるため、ベクトル $\vec{CH}$ と直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{AB}$ が垂直に交わる（内積が $0$ になる）という条件を利用して $t$ の値を求めます。

解法1

$A(-3, -1, 1)$, $B(-1, 0, 0)$ を通る直線 $l$ の方向ベクトルは

$$ \vec{AB} = (-1 - (-3),\ 0 - (-1),\ 0 - 1) = (2, 1, -1) $$

である。点 $H$ は直線 $l$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{AB} = (-3, -1, 1) + t(2, 1, -1) = (2t - 3,\ t - 1,\ -t + 1) $$

と表せる。また、点 $C(2, 3, 3)$ について、

$$ \vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = (2t - 5,\ t - 4,\ -t - 2) $$

$CH \perp l$ であるから、$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$ が成り立つ。

$$ \vec{CH} \cdot \vec{AB} = 2(2t - 5) + 1(t - 4) - 1(-t - 2) = 4t - 10 + t - 4 + t + 2 = 6t - 12 $$

したがって、$6t - 12 = 0$ より $t = 2$ となる。これを $\vec{OH}$ の式に代入すると、

$$ \vec{OH} = (2(2) - 3,\ 2 - 1,\ -2 + 1) = (1, 1, -1) $$

となり、$H$ の座標が求まる。

解説

空間における点から直線に下ろした垂線の足を求める典型的な問題です。直線のベクトル方程式と、「垂直ならば内積ゼロ」という図形的な性質を数式に翻訳することで、機械的に解くことができます。計算ミスを防ぐために、求めた $H$ を用いて再度 $\vec{CH}$ と $\vec{AB}$ の内積が $0$ になるか確かめると確実です。

答え

$$ (1, 1, -1) $$

問2

方針・初手

試行を繰り返す中で、「袋の中の白球と赤球の個数がどのように推移するか」の規則性を見抜くことが第一歩です。失敗したときの球の戻し方に着目し、$k$ 回目の試行開始時の袋の状態を一般化します。その後、$k$ 回目に成功する確率・失敗する確率を求め、最後に積の形を計算します。

解法1

最初に袋の中には白球が2個、赤球が1個入っている。1回の試行で2個の球を取り出し、失敗した場合は取り出した球に赤球1個を加えて戻す。このとき、取り出す球のパターンは以下の2通り考えられる。

(i) 白球1個・赤球1個を取り出した場合（失敗）：

袋に残っている白球は1個減り、戻す際に白球1個と赤球2個を入れるため、結果として白球の数は変わらず、赤球の数が1個増える。

(ii) 赤球2個を取り出した場合（失敗）：

袋に残っている白球の数は変わらず、戻す際に赤球3個を入れるため、結果として白球の数は変わらず、赤球の数が1個増える。

いずれの場合も、**1回失敗するごとに「袋の中の白球の数は2個のまま変わらず、赤球の数が1個増える」**ことがわかる。

初期状態で赤球は1個であるから、$k$ 回目の試行開始時において、袋の中には白球が2個、赤球が $k$ 個、合計 $k+2$ 個の球が入っている。

$k$ 回目の試行で「成功」（白球を2個取り出す）する確率 $p_k$ は、

$$ p_k = \frac{{}_2\mathrm{C}_{2}}{{}_{k+2}\mathrm{C}_{2}} = \frac{1}{\frac{(k+2)(k+1)}{2}} = \frac{2}{(k+1)(k+2)} $$

また、$k$ 回目の試行で「失敗」する確率 $1 - p_k$ は、

$$ 1 - p_k = 1 - \frac{2}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+1)(k+2) - 2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)} $$

となる。

求める確率は「$1$ 回目から $n-1$ 回目まで失敗し、$n$ 回目に成功する確率」であるため、これを $P(n)$ とすると、

$$ P(n) = \left( \prod_{k=1}^{n-1} (1 - p_k) \right) \times p_n $$

と表される。ここで、$n-1$ 回目までの失敗の確率の積を計算する。

$$ \prod_{k=1}^{n-1} (1 - p_k) = \prod_{k=1}^{n-1} \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)} $$

$$ = \left( \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \right) \left( \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} \right) \left( \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} \right) \cdots \left( \frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)} \right) $$

分母と分子をそれぞれまとめて約分すると、

$$ = \frac{1}{n} \times \frac{n+2}{3} = \frac{n+2}{3n} $$

したがって、求める確率 $P(n)$ は、

$$ P(n) = \frac{n+2}{3n} \times p_n = \frac{n+2}{3n} \times \frac{2}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{3n(n+1)} $$

となる。（これは $n \geqq 2$ で成り立つ）

解説

確率の漸化式や状態遷移の問題において、試行ごとに「全体として何が起こっているか（不変量は何か）」を捉えることが決定的に重要です。本問では「白球の数は常に2個である」という不変の性質に気づくことで、場合分けの泥沼を避けることができます。後半の確率の積の計算では、分母分子の規則的な相殺（部分分数分解の積バージョン）を丁寧に書き下すことで確実に答えに辿り着けます。

答え

$$ \frac{2}{3n(n+1)} $$