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京都大学 2009年文系第2問（甲）解説

方針・初手

定積分を含む等式の問題である。積分区間に変数 $x$ を含む項と、積分区間が定数（$0$ から $1$）の項が混在している。まずは被積分関数の中に変数 $x$ が含まれている部分を展開し、積分変数 $y$ に無関係な $x$ を積分の外へ出す。その後、定積分部分を定数とおいて式を整理し、両辺を $x$ で微分して関数 $f(x)$ の形を特定するという定石に従う。

解法1

与えられた等式

$$ \int_0^x f(y) \, dy + \int_0^1 (x+y)^2 f(y) \, dy = x^2 + C \quad \cdots \text{(1)} $$

の左辺第2項について、被積分関数を展開し $x$ について整理する。

$$ (x+y)^2 f(y) = (x^2 + 2xy + y^2) f(y) = x^2 f(y) + 2xy f(y) + y^2 f(y) $$

これを (1) に代入し、積分変数 $y$ に無関係な $x$ を積分の外に出すと、

$$ \int_0^x f(y) \, dy + x^2 \int_0^1 f(y) \, dy + 2x \int_0^1 y f(y) \, dy + \int_0^1 y^2 f(y) \, dy = x^2 + C \quad \cdots \text{(2)} $$

となる。

ここで、定積分 $\int_0^1 f(y) \, dy$, $\int_0^1 y f(y) \, dy$, $\int_0^1 y^2 f(y) \, dy$ は定数であるから、それぞれ実数 $A, B, D$ とおく。

$$ A = \int_0^1 f(y) \, dy \quad \cdots \text{(3)}, \quad B = \int_0^1 y f(y) \, dy \quad \cdots \text{(4)}, \quad D = \int_0^1 y^2 f(y) \, dy \quad \cdots \text{(5)} $$

これらを用いて (2) 式を書き換えると、

$$ \int_0^x f(y) \, dy + A x^2 + 2B x + D = x^2 + C \quad \cdots \text{(6)} $$

となる。(6) 式の両辺を $x$ で微分すると、

$$ f(x) + 2Ax + 2B = 2x $$

$$ f(x) = 2(1 - A)x - 2B \quad \cdots \text{(7)} $$

が得られる。

(7) を (3) に代入する。

$$ A = \int_0^1 \{ 2(1 - A)y - 2B \} \, dy = \left[ (1 - A)y^2 - 2By \right]_0^1 = (1 - A) - 2B $$

整理して、

$$ 2A + 2B = 1 \quad \cdots \text{(8)} $$

次に、(7) を (4) に代入する。

$$ B = \int_0^1 y \{ 2(1 - A)y - 2B \} \, dy = \int_0^1 \{ 2(1 - A)y^2 - 2By \} \, dy = \left[ \frac{2(1 - A)}{3} y^3 - By^2 \right]_0^1 $$

$$ B = \frac{2(1 - A)}{3} - B $$

整理して、

$$ 2A + 6B = 2 \quad \cdots \text{(9)} $$

(8), (9) の連立方程式を解く。(9) − (8) より、

$$ 4B = 1 \iff B = \frac{1}{4} $$

これを (8) に代入して、

$$ 2A + \frac{1}{2} = 1 \iff A = \frac{1}{4} $$

これらを (7) に代入して、$f(x)$ を求める。

$$ f(x) = 2\left(1 - \frac{1}{4}\right)x - 2\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} $$

最後に定数 $C$ を求める。(6) 式に $x = 0$ を代入すると、

$$ \int_0^0 f(y) \, dy + A \cdot 0^2 + 2B \cdot 0 + D = 0^2 + C $$

$$ D = C $$

$D$ は (5) 式で定義されているので、求めた $f(y)$ を代入して計算する。

$$ C = D = \int_0^1 y^2 \left( \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} \right) dy = \int_0^1 \left( \frac{3}{2}y^3 - \frac{1}{2}y^2 \right) dy = \left[ \frac{3}{8}y^4 - \frac{1}{6}y^3 \right]_0^1 = \frac{3}{8} - \frac{1}{6} = \frac{5}{24} $$

解説

定積分で表された関数の典型問題である。被積分関数に積分変数以外の文字（この場合は $x$）が含まれている場合は、展開して積分の外にくくり出すことが第一歩となる。また、上端・下端がともに定数である定積分は「定数」となるため、文字でおいて式を整理する。その後、$\int_a^x f(t) \, dt$ の形に着目して両辺を $x$ で微分することで関数 $f(x)$ の形を特定し、自身が設定した定積分の式に代入して係数決定を行う。