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京都大学 2021年理系第1問解説

方針・初手

問1 空間内の3点が与えられているため、まずはこれらを通る平面 $\alpha$ の方程式を求めます。その後、点 $P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線と平面 $\alpha$ の交点（中点 $M$）を求め、対称な点 $Q$ の座標を導きます。法線ベクトルを利用すると簡潔に計算できます。

問2 $n$ 回目に「初めて赤玉」が出て、かつ「4種類全てが記録済み」となる条件を整理します。これは「1回目から $n-1$ 回目までに赤玉以外の3色がすべて少なくとも1回以上出る」かつ「$n$ 回目に赤玉が出る」という事象が起こる確率を求めることと同じです。反復試行の確率と、事象の数を数え上げる包除原理を組み合わせて計算します。

解法1

問1

3点 $A(1, 0, 0)$, $B(0, -1, 0)$, $C(0, 0, 2)$ を通る平面 $\alpha$ の方程式を $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ の形を用いて設定する。点 $A, B, C$ はそれぞれ $x, y, z$ 軸上の点であるから、平面 $\alpha$ の方程式は

$$ \frac{x}{1} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{2} = 1 $$

両辺を2倍して整理すると、

$$ 2x - 2y + z - 2 = 0 $$

となる。この平面 $\alpha$ の法線ベクトルの1つは $\vec{n} = (2, -2, 1)$ である。

点 $P(1, 1, 1)$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線を $l$ とし、平面 $\alpha$ との交点を $M$ とする。直線 $l$ は点 $P$ を通り、方向ベクトルが $\vec{n}$ であるから、実数 $t$ を用いて直線 $l$ 上の点 $M$ の座標は

$$ (1 + 2t, 1 - 2t, 1 + t) $$

と表せる。点 $M$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、方程式に代入して

$$ 2(1 + 2t) - 2(1 - 2t) + (1 + t) - 2 = 0 $$

$$ 2 + 4t - 2 + 4t + 1 + t - 2 = 0 $$

$$ 9t - 1 = 0 \quad \therefore t = \frac{1}{9} $$

したがって、点 $M$ の座標は

$$ M\left( 1 + \frac{2}{9}, 1 - \frac{2}{9}, 1 + \frac{1}{9} \right) = \left( \frac{11}{9}, \frac{7}{9}, \frac{10}{9} \right) $$

となる。

点 $Q$ は平面 $\alpha$ に関して点 $P$ と対称であるから、点 $M$ は線分 $PQ$ の中点である。点 $Q$ の座標を $(x, y, z)$ とおくと、

$$ \frac{1 + x}{2} = \frac{11}{9}, \quad \frac{1 + y}{2} = \frac{7}{9}, \quad \frac{1 + z}{2} = \frac{10}{9} $$

これらを解いて、

$$ x = \frac{22}{9} - 1 = \frac{13}{9} $$

$$ y = \frac{14}{9} - 1 = \frac{5}{9} $$

$$ z = \frac{20}{9} - 1 = \frac{11}{9} $$

よって、点 $Q$ の座標は $\left( \frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9} \right)$ である。

問2

$n$ 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなるための条件は、以下の2つがともに成り立つことである。

(i) 1回目から $n-1$ 回目までの試行で、赤玉以外の3色（白玉、青玉、黄玉）がそれぞれ1回以上取り出される。 (ii)

$n$ 回目の試行で赤玉が取り出される。

まず、(i) が起こる確率を求める。 1回の試行でどの色が取り出される確率も $\frac{1}{4}$ である。 1回目から $n-1$ 回目までの $n-1$ 回の試行において、白玉、青玉、黄玉の3色のみが取り出されるすべての出方は $3^{n-1}$ 通りである。このうち、1色以上が全く取り出されない場合を除外する。

白玉が取り出されない（青玉、黄玉のみ）出方は $2^{n-1}$ 通り。
青玉が取り出されない（白玉、黄玉のみ）出方は $2^{n-1}$ 通り。
黄玉が取り出されない（白玉、青玉のみ）出方は $2^{n-1}$ 通り。

これらを引くと、2色が出ない（1色のみが出る）場合が重複して引かれるため、足し戻す必要がある。

青玉と黄玉が取り出されない（白玉のみ）出方は $1^{n-1} = 1$ 通り。
白玉と黄玉が取り出されない（青玉のみ）出方は $1^{n-1} = 1$ 通り。
白玉と青玉が取り出されない（黄玉のみ）出方は $1^{n-1} = 1$ 通り。

したがって、包除原理により、1回目から $n-1$ 回目までの試行で白玉、青玉、黄玉の3色がすべて1回以上取り出される場合の数は

$$ 3^{n-1} - 3 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 1 \text{ （通り）} $$

となる。 1回目から $n-1$ 回目までのすべての出方は $4^{n-1}$ 通りであるから、(i) の確率は

$$ \frac{3^{n-1} - 3 \cdot 2^{n-1} + 3}{4^{n-1}} $$

である。

次に、(ii) $n$ 回目に赤玉が取り出される確率は $\frac{1}{4}$ である。各試行は独立であるから、求める確率は

$$ \frac{3^{n-1} - 3 \cdot 2^{n-1} + 3}{4^{n-1}} \times \frac{1}{4} = \frac{3^{n-1} - 3 \cdot 2^{n-1} + 3}{4^n} $$

となる。

解説

問1について

空間座標における平面の方程式と、点と平面の距離・対称点の典型的な問題です。切片方程式 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ を用いると、座標軸上の3点を通る平面の方程式を素早く求めることができます。あとは法線ベクトルを用いて垂線の足を求め、中点の公式を利用する定石通りの解法で答えに辿り着けます。

問2について

「初めて〜となる」確率を求める問題では、最後の試行とその直前までの試行を分けて考えることが鉄則です。本問では、$n-1$ 回目までに3色がすべて出揃う場合の数を正しく数え上げる必要があります。ここでは「少なくとも1回出る」という条件を処理するために、余事象を利用した包除原理（包含と排除の原理）を用いるのが最も確実で効率的です。