京都大学 2016年 文系 第2問 解説

方針・初手

• 「1 回以上〜」という確率の条件は、余事象である「1 回も〜ない（すべて〜）」を考えるのが定石です。
• 1 回ボタンを押したときに「はずれ」が出る確率を文字でおき、与えられた条件からその確率に関する式を立てます。
• 求める回数 $n$ についての不等式を立て、常用対数を用いて $n$ の値の範囲を評価します。

解法1

1 回ボタンを押したとき、「はずれ」が表示される確率を $p$（$0 < p < 1$）とおく。

「$n$ 回ボタンを押したとき、1 回以上『あたり』が出る確率」は、余事象「$n$ 回とも『はずれ』が出る確率」を用いて

$$ 1 - p^n $$

と表される。

まず、20 回押したとき 1 回以上「あたり」の出る確率が 36%（0.36）であるから、

$$ 1 - p^{20} = 0.36 \implies p^{20} = 0.64 = \frac{64}{100} = \frac{2^6}{10^2} $$

両辺は正であるから常用対数をとると、

$$ 20\log_{10} p = 6\log_{10} 2 - 2 $$

よって、

$$ \log_{10} p = \frac{3\log_{10} 2 - 1}{10} \quad \cdots \text{①} $$

次に、$n$ 回押したとき 1 回以上「あたり」の出る確率が 90%（0.9）以上となるための条件は、

$$ 1 - p^n \geq 0.9 \implies p^n \leq 0.1 $$

両辺は正であるから常用対数をとると、底の 10 は 1 より大きいため不等号の向きは変わらず、

$$ n\log_{10} p \leq \log_{10} 0.1 = -1 $$

① を代入して、

$$ n \cdot \frac{3\log_{10}2 - 1}{10} \leq -1 \quad \cdots \text{②} $$

ここで、与えられた条件 $0.3010 < \log_{10} 2 < 0.3011$ より、

$$ 3 \times 0.3010 < 3\log_{10}2 < 3 \times 0.3011 $$

各辺から 1 を引いて、

$$ -0.0970 < 3\log_{10}2 - 1 < -0.0967 $$

したがって $3\log_{10}2 - 1 < 0$ であるから、② の両辺を $\dfrac{3\log_{10}2 - 1}{10}$ で割ると不等号の向きが変わり、

$$ n \geq \frac{-1}{\dfrac{3\log_{10}2-1}{10}} = \frac{10}{1 - 3\log_{10}2} \quad \cdots \text{②'} $$

$-0.0970 < 3\log_{10}2 - 1 < -0.0967$ より $0.0967 < 1 - 3\log_{10}2 < 0.0970$ であるから、各辺の逆数をとると（すべて正なので不等号の向きが変わる）、

$$ \frac{10}{0.0970} < \frac{10}{1 - 3\log_{10}2} < \frac{10}{0.0967} $$

左辺と右辺の値をそれぞれ計算すると、

$$ \frac{10}{0.0970} = \frac{10000}{97} = 103.09\cdots, \qquad \frac{10}{0.0967} = \frac{10000}{96.7} = 103.41\cdots $$

すなわち、②' の右辺の値は $103.09\cdots$ より大きく $103.41\cdots$ より小さいある実数である。

したがって、不等式 $n \geq \dfrac{10}{1 - 3\log_{10}2}$ を満たす最小の整数 $n$ は $\mathbf{104}$ である。

解説

「少なくとも 1 回〜（1 回以上〜）」という表現が含まれる確率問題では、余事象に注目するのが基本です。本問では「あたり」の確率を直接求める必要はなく、「はずれ」の確率 $p$ の累乗に関する関係式を処理するだけで答えを導くことができます。

常用対数を用いた不等式の計算では、$\log_{10} p$ にあたる値が負の数になるため、両辺を割る際に不等号の向きが反転することに注意が必要です。また、与えられた対数の近似値を用いて $n$ の条件を評価する際は、上限と下限をそれぞれ計算して挟み撃ちにすることで、境界となる整数を正確に特定できます。

答え

$$ n = 104 \text{ 回} $$