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京都大学 2016年文系第1問解説

方針・初手

求める領域の面積を立式するためには、与えられた不等式が表す領域の上下関係（境界線の位置関係）を把握する必要があります。
$x$ の積分区間 $-1 \leq x \leq 1$ において、曲線 $y = x^3 + x^2 - x$ と円 $x^2 + y^2 = 2$ の位置関係を調べ、被積分関数を決定します。
円の一部を含む積分は、扇形と三角形の面積に分割して図形的に考えるか、三角関数を用いた置換積分を利用することで計算できます。

解法1

求める領域は、連立不等式

$$ x^2 + y^2 \leq 2, \quad y \geq x^3 + x^2 - x, \quad -1 \leq x \leq 1 $$

の表す領域である。

第 1 式より、円の内部および境界では $-\sqrt{2-x^2} \leq y \leq \sqrt{2-x^2}$ である。

$f(x) = x^3 + x^2 - x$ とおく。積分区間となる $-1 \leq x \leq 1$ において、曲線 $y = f(x)$ と円の境界の上下関係を調べる。

$$ f(x) - 1 = x^3 + x^2 - x - 1 = (x-1)(x+1)^2 $$

$-1 \leq x \leq 1$ において $(x+1)^2 \geq 0$ かつ $x - 1 \leq 0$ であるから、$(x-1)(x+1)^2 \leq 0$ が成り立ち、常に $f(x) \leq 1$ である（等号成立は $x = 1,\ -1$ のとき）。

一方、$-1 \leq x \leq 1$ において $x^2 \leq 1$ より $2 - x^2 \geq 1$ であるから、常に $\sqrt{2-x^2} \geq 1$ であり、$-\sqrt{2-x^2} \leq -1$ である。

したがって、区間 $-1 \leq x \leq 1$ におけるすべての $x$ に対して、

$$ -\sqrt{2-x^2} \leq -1 \leq f(x) \leq 1 \leq \sqrt{2-x^2} $$

が成り立つ。すなわち、この区間で曲線 $y = f(x)$ は円 $x^2 + y^2 = 2$ の内部に含まれる。

以上より、求める面積 $S$ は、円の上半弧 $y = \sqrt{2-x^2}$ と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた部分の面積であるから、

$$ S = \int_{-1}^{1}\!\left(\sqrt{2-x^2} - f(x)\right)dx $$

これを 2 つの定積分に分けて計算する。

第 1 項の計算

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{2-x^2}\,dx$ は、原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円のうち、$-1 \leq x \leq 1$ かつ $y \geq 0$ の部分の面積を表す。

この図形は、原点 O、点 A$(-1,\ 1)$、点 B$(1,\ 1)$ を結ぶ扇形 OAB と、両脇の 2 つの直角三角形に分割できる。

点 A の偏角は $\dfrac{3\pi}{4}$、点 B の偏角は $\dfrac{\pi}{4}$ であるから、扇形 OAB の中心角は $\dfrac{\pi}{2}$。その面積は $\dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$
両脇の直角三角形（底辺 1、高さ 1）の面積の和は $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \times 2 = 1$

したがって、

$$ \int_{-1}^{1}\sqrt{2-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2} + 1 $$

第 2 項の計算

奇関数・偶関数の性質を利用する。$x^3$ と $-x$ は奇関数、$x^2$ は偶関数であるから、

$$ \int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1}\!(x^3 + x^2 - x)\,dx = 0 + 2\int_0^1 x^2\,dx + 0 = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} $$

ゆえに、求める面積 $S$ は、

$$ S = \left(\frac{\pi}{2} + 1\right) - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} $$

解法2

第 1 項の定積分 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{2-x^2}\,dx$ を、図形的意味を用いずに置換積分で求める方法を示す。

$x = \sqrt{2}\sin\theta$ とおくと、$dx = \sqrt{2}\cos\theta\,d\theta$ であり、積分区間は $\theta : -\dfrac{\pi}{4} \to \dfrac{\pi}{4}$ となる。

この区間において $\cos\theta > 0$ であるから、

$$ \sqrt{2-x^2} = \sqrt{2-2\sin^2\theta} = \sqrt{2}\cos\theta $$

$$ \int_{-1}^{1}\sqrt{2-x^2}\,dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sqrt{2}\cos\theta \cdot \sqrt{2}\cos\theta\,d\theta = 2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2\theta\,d\theta $$

$$ = 2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{\pi}{2} + 1 $$

以下、解法1と同様の計算により $S = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{3}$ を得る。