トップ› 京都大学› 2016年› 文系第3問

京都大学 2016年文系第3問解説

方針・初手

与えられた式 $2^{12} = 1331$ はすべて $n$ 進法での表記であるため、まずは各数を 10 進法に直して方程式を立てます。
得られた方程式は指数関数と多項式が含まれるため、代数的に解くことは難しく、$n$ が自然数であることを利用して値を代入しながら解の目星をつけます。
解が見つかった後、それが唯一の解であることを証明します。

解法1

$n$ 進法で表記された数 $2,\ 12,\ 1331$ をそれぞれ 10 進法で表す（$n$ は 4 以上の自然数なので各桁の数字は問題ない）。

$n$ 進法の $2$ は、10 進法でも $2$
$n$ 進法の $12$ は、$1 \cdot n + 2 = n + 2$
$n$ 進法の $1331$ は、$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = (n+1)^3$

したがって、与えられた等式 $2^{12} = 1331$ を 10 進法で表すと、

$$ 2^{n+2} = (n+1)^3 $$

$n$ は 4 以上の自然数であるから、順番に代入して調べていく。

$n$	左辺 $2^{n+2}$	右辺 $(n+1)^3$	判定
4	$2^6 = 64$	$5^3 = 125$	不適
5	$2^7 = 128$	$6^3 = 216$	不適
6	$2^8 = 256$	$7^3 = 343$	不適
7	$2^9 = 512$	$8^3 = 512$	等式成立

よって、$n = 7$ は解の 1 つである。

次に、$n \geq 8$ において他に解を持たないことを数学的帰納法で示す。

命題 (A)：$n \geq 8$ であるすべての自然数 $n$ について、$2^{n+2} > (n+1)^3$ が成り立つ。

[1] $n = 8$ のとき

$$ 2^{10} = 1024 > 729 = 9^3 \quad \checkmark $$

[2] $n = k\ (k \geq 8)$ のとき (A) が成り立つと仮定する。

すなわち、$2^{k+2} > (k+1)^3$ が成り立つとする。

$n = k+1$ のとき、

$$ 2^{k+3} - (k+2)^3 = 2 \cdot 2^{k+2} - (k+2)^3 > 2(k+1)^3 - (k+2)^3 $$

$$ = 2(k^3+3k^2+3k+1) - (k^3+6k^2+12k+8) = k^3 - 6k - 6 $$

$$ \geq k^3 - 3k^2 - 6k - 6 = k\{k(k-3)-6\} - 6 $$

（最後の不等式は $3k^2 \geq 0$ より成り立つ。）

$k \geq 8$ であるから $k - 3 \geq 5$ より、

$$ k(k-3) - 6 \geq 8 \cdot 5 - 6 = 34 > 0 $$

したがって、

$$ k\{k(k-3)-6\} - 6 \geq 8 \cdot 34 - 6 = 266 > 0 $$

よって $2^{k+3} > (k+2)^3$ が成り立ち、$n = k+1$ のときも (A) が成り立つ。

[1], [2] より、$8$ 以上のすべての自然数 $n$ について $2^{n+2} > (n+1)^3$ が成り立つため、$n \geq 8$ において等式を満たす $n$ は存在しない。

以上より、求める自然数 $n$ は $\mathbf{7}$ のみである。

解説

$n$ 進法の記数法の定義に従い、数式を 10 進法へ正しく翻訳することが第一歩です。$1331_{(n)} = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$ は二項定理より $(n+1)^3$ になるという点に気付くと計算の見通しが良くなります。

方程式 $2^{n+2} = (n+1)^3$ を得た後は、指数関数と多項式の交点を求めることになりますが、一般的に代数的な解法はありません。問題文に「$n$ は自然数」という強い条件があるため、小さな値から順に代入して探すのが定石です。

$n = 7$ という解を見つけた後、記述式の解答では「それ以外に解がないこと」を証明する必要があります。指数関数 $2^{n+2}$ の増加スピードは、ある程度 $n$ が大きくなると多項式 $(n+1)^3$ の増加スピードを圧倒するため、どこかで逆転して以降は交わらないという発想を持ち、それを数学的帰納法で示すとよいでしょう。