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大阪大学 2013年文系第2問解説

方針・初手

(1) は底がどちらも $1$ より小さいことに着目し、同じ底の対数に直して不等式を $a+b$ と $c^2$ の比較に落とす。すると、さいころの目の範囲で素直に数え上げられる。

(2)

$3$ の倍数であるかどうかの判定は、$3$ で割った余りに着目する。指数を含む数の余りを考える際は、合同式を用いると見通しが良い。

解法1

(1)

$a,b,c$ はさいころの目であるから

$$ 2 \leqq a+b \leqq 12,\quad 1 \leqq c \leqq 6 $$

が成り立つ。

底の変換公式より

$$ \log_{\frac{1}{4}}(a+b)=\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}(a+b) $$

であるから、与えられた不等式

$$ \log_{\frac{1}{4}}(a+b) > \log_{\frac{1}{2}} c $$

は

$$ \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}(a+b)>\log_{\frac{1}{2}} c $$

$$ \log_{\frac{1}{2}}(a+b)>2\log_{\frac{1}{2}} c=\log_{\frac{1}{2}}(c^2) $$

と同値である。

ここで、底 $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、対数関数は単調減少である。したがって、

$$ a+b<c^2 $$

と同値になる。

以下、$c$ の値ごとに数え上げる。

$c=1$ のとき、$c^2=1$ であり、$a+b\geqq 2$ だから不可能
$c=2$ のとき、$c^2=4$ であり、$a+b<4$ を満たすのは $(a,b)=(1,1),(1,2),(2,1)$ の $3$ 通り
$c=3$ のとき、$c^2=9$ であり、$a+b<9$ を満たす組は全 $36$ 通りから $a+b\geqq 9$ の $10$ 通りを引いて $26$ 通り
$c=4,5,6$ のときは $c^2\geqq 16$ だから、すべての $(a,b)$ について条件を満たし、それぞれ $36$ 通り

したがって、条件を満たす $(a,b,c)$ の総数は

$$ 0+3+26+36+36+36=137 $$

通りである。よって、求める確率は

$$ \frac{137}{216} $$

(2)

$2^a + 2^b + 2^c$ が $3$ の倍数となる条件を調べるため、$3$ を法とする合同式を用いる。

$$ 2 \equiv -1 \pmod 3 $$

であるから、正の整数 $n$ に対して、

$$ 2^n \equiv (-1)^n \pmod 3 $$

が成り立つ。すなわち、$n$ が奇数のときは $2^n \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3$ となり、$n$ が偶数のときは $2^n \equiv 1 \pmod 3$ となる。さいころの目 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のうち、奇数は $1, 3, 5$ の $3$ つ、偶数は $2, 4, 6$ の $3$ つである。したがって、$a, b, c$ それぞれについて、$2^a, 2^b, 2^c$ を $3$ で割った余りは、出た目が奇数ならば $2$、偶数ならば $1$ となる。

ここで、$a, b, c$ のうち、目が奇数であるものの個数を $k$ （$0 \leqq k \leqq 3$）とすると、目が偶数であるものの個数は $3-k$ となる。このとき、$2^a + 2^b + 2^c$ を $3$ で割った余りは、合同式の性質より

$$ 2 \times k + 1 \times (3-k) = k + 3 \equiv k \pmod 3 $$

となる。したがって、$2^a + 2^b + 2^c$ が $3$ の倍数となるための条件は、$k \equiv 0 \pmod 3$ となることである。 $0 \leqq k \leqq 3$ であるから、これを満たすのは $k = 0$ または $k = 3$ のときである。

(i)

$k=0$ のとき

$a, b, c$ がすべて偶数の目である場合。それぞれの目の選び方は $3$ 通りずつあるので、そのような $(a, b, c)$ の組は $3^3 = 27$ 通り。

(ii)

$k=3$ のとき

$a, b, c$ がすべて奇数の目である場合。それぞれの目の選び方は $3$ 通りずつあるので、そのような $(a, b, c)$ の組は $3^3 = 27$ 通り。

以上より、条件を満たす $(a, b, c)$ の組の総数は、

$$ 27 + 27 = 54 $$

通りである。したがって、求める確率は、

$$ \frac{54}{216} = \frac{1}{4} $$

解説

(1) は $\log_{\frac14}(a+b)=\frac12\log_{\frac12}(a+b)$ と直して、同じ底 $\frac12$ の対数の比較に持ち込むのが自然である。底が $1$ より小さいため不等号の向きに注意すると、条件は $a+b<c^2$ に言い換えられる。あとは $c$ の値ごとに数え上げればよい。

(2)は整数の性質と確率の融合問題である。巨大になり得る指数の和が $3$ の倍数になる条件を考えるにあたり、合同式を用いて余りだけに着目するのが定石である。「奇数の目が出た回数」を変数として設定することで、見通しよく場合分けを行うことができる。