トップ› 京都大学› 2020年› 文系第3問

京都大学 2020年文系第3問解説

方針・初手

$f(m,n)$ が 16 の倍数になるためには、まず $f(m,n)$ が偶数である必要があります。式の各項の偶奇を調べることで、$m$ と $n$ がともに偶数でなければならないことを示します。その後、$m=2k,\ n=2l$ とおいて式を変形し、さらに $k,\ l$ の偶奇で場合分けを行って $a$ に関する条件を絞り込みます。

解法1

$f(m,n) = mn^2 + am^2 + n^2 + 8$ が 16 で割り切れるための必要条件として、$f(m,n)$ は偶数でなければならない。

$a$ は奇数であることに注意して、$m,\ n$ の偶奇による $f(m,n)$ の偶奇を調べる。

(i) $m$ が偶数、$n$ が奇数のとき $mn^2(\text{偶}) + am^2(\text{偶}) + n^2(\text{奇}) + 8(\text{偶}) = \text{奇数}$
(ii) $m$ が奇数、$n$ が偶数のとき $mn^2(\text{偶}) + am^2(\text{奇}) + n^2(\text{偶}) + 8(\text{偶}) = \text{奇数}$
(iii) $m$ が奇数、$n$ が奇数のとき $mn^2(\text{奇}) + am^2(\text{奇}) + n^2(\text{奇}) + 8(\text{偶}) = \text{奇数}$
(iv) $m$ が偶数、$n$ が偶数のとき $mn^2(\text{偶}) + am^2(\text{偶}) + n^2(\text{偶}) + 8(\text{偶}) = \text{偶数}$

したがって、$f(m,n)$ が偶数となるのは、$m,\ n$ がともに偶数のときに限られる。

そこで、$m = 2k,\ n = 2l$（$k,\ l$ は整数）とおき、式に代入する。

$$\begin{aligned} f(2k,\ 2l) &= (2k)(2l)^2 + a(2k)^2 + (2l)^2 + 8 \\ &= 8kl^2 + 4ak^2 + 4l^2 + 8 \\ &= 4(2kl^2 + ak^2 + l^2 + 2) \end{aligned}$$

$f(2k,\ 2l)$ が 16 で割り切れるためには、括弧内の式が 4 で割り切れる必要がある。

すなわち、

$$ 2kl^2 + ak^2 + l^2 + 2 \equiv 0 \pmod{4} \quad \cdots ① $$

ここで、$l$ の偶奇で場合分けする。

(a) $l$ が偶数のとき

$l = 2L$（$L$ は整数）とおくと、$l^2 = 4L^2 \equiv 0 \pmod{4}$、$2kl^2 = 8kL^2 \equiv 0 \pmod{4}$ であるから、①式は

$$ ak^2 + 2 \equiv 0 \pmod{4} $$

となる。

$k$ が偶数のとき、$ak^2 \equiv 0 \pmod{4}$ より $2 \equiv 0 \pmod{4}$ となり矛盾。
$k$ が奇数のとき、$ak^2 \equiv a \pmod{4}$ より $a \equiv 2 \pmod{4}$ となるが、$a$ は奇数であるため矛盾。

よって、$l$ が偶数の場合は不適。

(b) $l$ が奇数のとき

$l = 2L+1$（$L$ は整数）とおくと、$l^2 = 4L^2 + 4L + 1 \equiv 1 \pmod{4}$、$2kl^2 \equiv 2k \cdot 1 = 2k \pmod{4}$ であるから、①式は

$$ 2k + ak^2 + 1 + 2 \equiv 0 \pmod{4} $$

$$ 2k + ak^2 + 3 \equiv 0 \pmod{4} \quad \cdots ② $$

となる。ここでさらに $k$ の偶奇で場合分けする。

$k$ が偶数のとき：$k^2 \equiv 0 \pmod{4}$、$2k \equiv 0 \pmod{4}$ より、②式は $3 \equiv 0 \pmod{4}$ となり矛盾。
$k$ が奇数のとき：$k^2 \equiv 1 \pmod{4}$、$2k \equiv 2 \pmod{4}$ より、②式は

$$ 2 + a + 3 \equiv 0 \pmod{4} \implies a \equiv -5 \equiv 3 \pmod{4} $$

以上より、条件を満たす $(m,n)$ が存在するための必要条件は $a \equiv 3 \pmod{4}$ である。

逆に $a \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、$k=1,\ l=1$ すなわち $(m,n)=(2,2)$ とすると、

$$ f(2,2) = 2 \cdot 4 + a \cdot 4 + 4 + 8 = 4a + 20 = 4(a + 5) $$

となる。$a = 4q + 3$（$q$ は整数）とおけるので、

$$ f(2,2) = 4(4q + 3 + 5) = 4(4q + 8) = 16(q + 2) $$

となり、確かに 16 で割り切れる整数の組 $(m,n)=(2,2)$ が存在する。

よって、求める条件は $a \equiv 3 \pmod{4}$ である。

解説

倍数に関する問題では、まず「偶奇」に着目して範囲を絞り込むのが非常に有効です。本問では $m,n$ の偶奇の4パターンを調べるだけで、「ともに偶数」でなければならないことが分かります。

その後、得られた $m=2k,\ n=2l$ を代入して 4 でくくり、残りの部分が 4 の倍数になる条件を、さらに $k,\ l$ の偶奇に分けて調べます。合同式を $\pmod{4}$ で考えると、奇数の平方 $l^2 \equiv 1 \pmod{4}$ や偶数の平方 $k^2 \equiv 0 \pmod{4}$ などの性質が活きて、スッキリと論証できます。

最後は、「存在する」ための条件なので、見つけた条件のもとで具体的に一つ $(m,n)$ の組（ここでは $m=2,\ n=2$）を提示して、十分性を示すことを忘れないようにしましょう。