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京都大学 1962年理系第1問解説

方針・初手

点 $M$ が線分 $PQ$ を二等分することから，位置ベクトルを用いて $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = 2\overrightarrow{OM}$ と立式する。点 $M$ を三角形の頂点の位置ベクトルを用いた式で表し，$P, Q$ が三角形のどの辺上にあるかで場合分けを行い，連立方程式の解の存在条件を調べる。

解法1

始点を任意の点とし，各点の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{m}, \vec{p}, \vec{q}$ とする。点 $M$ は三角形 $ABC$ の内部にあるから，正の実数 $\alpha, \beta, \gamma$ （$\alpha + \beta + \gamma = 1$）を用いて，

$$ \vec{m} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} $$

と一意に表される。線分 $PQ$ の中点が $M$ であるから，

$$ \vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m} = 2\alpha \vec{a} + 2\beta \vec{b} + 2\gamma \vec{c} \quad \cdots (1) $$

が成り立つ。

(i)

$P, Q$ が同じ辺上にある場合

対称性より，$P, Q$ がともに辺 $BC$ 上にあるとする。実数 $s, t$ （$0 \le s \le 1, 0 \le t \le 1$）を用いて，

$$ \vec{p} = s\vec{b} + (1-s)\vec{c}, \quad \vec{q} = t\vec{b} + (1-t)\vec{c} $$

と表せる。これを (1) に代入すると，

$$ (s+t)\vec{b} + (2-s-t)\vec{c} = 2\alpha \vec{a} + 2\beta \vec{b} + 2\gamma \vec{c} $$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立であるから，$\vec{a}$ の係数を比較して $0 = 2\alpha$ となる。これは $\alpha > 0$ に矛盾する。他の辺でも同様であるため，$P, Q$ は異なる辺上に存在する。

(ii)

$P, Q$ が異なる辺上にある場合

対称性より，$P$ が辺 $BC$ 上，$Q$ が辺 $CA$ 上にあるとする。実数 $s, t$ （$0 \le s \le 1, 0 \le t \le 1$）を用いて，

$$ \vec{p} = s\vec{b} + (1-s)\vec{c}, \quad \vec{q} = t\vec{c} + (1-t)\vec{a} $$

と表せる。これを (1) に代入して整理すると，

$$ (1-t)\vec{a} + s\vec{b} + (1-s+t)\vec{c} = 2\alpha \vec{a} + 2\beta \vec{b} + 2\gamma \vec{c} $$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立より，各係数を比較して，

$$ \begin{cases} 1-t = 2\alpha \\ s = 2\beta \\ 1-s+t = 2\gamma \end{cases} $$

$\alpha + \beta + \gamma = 1$ より，第1式と第2式が成り立てば第3式も自動的に成り立つ。これより $s = 2\beta, t = 1-2\alpha$ を得る。 $0 \le s \le 1$ かつ $0 \le t \le 1$ となるための条件は，

$$ 0 \le 2\beta \le 1 \quad \text{かつ} \quad 0 \le 1-2\alpha \le 1 $$

すなわち，$\alpha \le \frac{1}{2}$ かつ $\beta \le \frac{1}{2}$ である。このとき条件を満たす $s, t$ の組はただ1つ決まる。同様に，各辺の組み合わせについて線分が引ける条件は以下の通りになる。

辺 $BC$ と辺 $CA$ を結ぶ線分：$\alpha \le \frac{1}{2}$ かつ $\beta \le \frac{1}{2}$
辺 $CA$ と辺 $AB$ を結ぶ線分：$\beta \le \frac{1}{2}$ かつ $\gamma \le \frac{1}{2}$
辺 $AB$ と辺 $BC$ を結ぶ線分：$\gamma \le \frac{1}{2}$ かつ $\alpha \le \frac{1}{2}$

ここで，$\alpha + \beta + \gamma = 1$ であり，$\alpha, \beta, \gamma$ はすべて正であるから，このうち $\frac{1}{2}$ より大きいものは高々1つである。また，2つが $\frac{1}{2}$ に等しいと仮定すると残り1つが $0$ となり $M$ が内部の点であることに反するため，$\frac{1}{2}$ に等しいものは高々1つである。よって，以下の3つの場合に分けられる。

(ア)

$\alpha < \frac{1}{2}$ かつ $\beta < \frac{1}{2}$ かつ $\gamma < \frac{1}{2}$ の場合

上記の3つの条件をすべて満たすため，3本の線分が引ける。図形的には，辺 $BC, CA, AB$ の中点をそれぞれ $D, E, F$ とすると，この領域は中点三角形 $DEF$ の内部である。

(イ)

$\alpha, \beta, \gamma$ のうちいずれか1つが $\frac{1}{2}$ に等しい場合

対称性から $\alpha = \frac{1}{2}$ とすると，$\beta + \gamma = \frac{1}{2}$ であり，$\beta < \frac{1}{2}, \gamma < \frac{1}{2}$ となる。このとき，「$\alpha \le \frac{1}{2}$ かつ $\beta \le \frac{1}{2}$」および「$\gamma \le \frac{1}{2}$ かつ $\alpha \le \frac{1}{2}$」の2条件を満たす。前者について $t = 1 - 2\alpha = 0$ となり，点 $Q$ は頂点 $A$ に一致する。後者について，辺 $AB$ 上の点を $P'$，辺 $BC$ 上の点を $Q'$ とすると，$P'$ の $\vec{a}$ の係数は $2\alpha = 1$ となり，点 $P'$ は頂点 $A$ に一致する。中点 $M$ が共通で一端がともに $A$ であるから，これら2つの線分は同一の線分を表す。もう一つの条件「$\beta \le \frac{1}{2}$ かつ $\gamma \le \frac{1}{2}$」によって定まる線分（端点は $A$ ではない）と合わせて，2本の線分が引ける。図形的には，中点三角形 $DEF$ の周上（頂点を除く）である。

(ウ)

$\alpha, \beta, \gamma$ のうちいずれか1つが $\frac{1}{2}$ より大きい場合

対称性から $\alpha > \frac{1}{2}$ とすると，$\beta < \frac{1}{2}, \gamma < \frac{1}{2}$ となる。このとき「$\beta \le \frac{1}{2}$ かつ $\gamma \le \frac{1}{2}$」のみを満たすため，1本の線分が引ける。図形的には，中点三角形 $DEF$ の外部（かつ三角形 $ABC$ の内部）である。

解説

点 $P, Q$ の一方が決まれば他方も決まるので，ある点 $P$ に対して $M$ に関する対称点 $Q$ を考える問題と見られる。三角形 $ABC$ の周を $T$，それを点 $M$ を中心に $180^\circ$ 回転した図形を $T'$ とすると，$T$ と $T'$ の交点が求める点の候補になる。交点が $2n$ 個あれば，線分は $n$ 本存在する。点 $M$ が中点三角形の内部にあるときは辺同士が6か所で交わり3本，辺上では4つの交点から2本，外部では2つの交点から1本となる。代数的に得た $\alpha, \beta, \gamma$ と $\frac{1}{2}$ の大小関係は，この図形的な位置関係に対応している。