京都大学 1962年 理系 第2問 解説

方針・初手

（イ）は方程式を $k$ について整理し、係数の関係を調べる。 （ロ）は円の方程式を平方完成して中心を求め、媒介変数 $k$ を消去する。

解法1

(イ)

与えられた円の方程式 $(k+1)(x^2+y^2)=ax+kby$ を $k$ について整理すると、

$$ k(x^2+y^2-by) + (x^2+y^2-ax) = 0 $$

これが $k \neq -1$ である任意の実数 $k$ について成り立つための条件は、

$$ \begin{cases} x^2+y^2-by = 0 & \cdots \text{①} \\ x^2+y^2-ax = 0 & \cdots \text{②} \end{cases} $$

① $-$ ② より、

$$ ax - by = 0 $$

$b \neq 0$ であるから、

$$ y = \frac{a}{b}x \quad \cdots \text{③} $$

③を②に代入すると、

$$ x^2 + \left( \frac{a}{b}x \right)^2 - ax = 0 $$

$$ x \left\{ \left( 1 + \frac{a^2}{b^2} \right) x - a \right\} = 0 $$

$$ x \left( \frac{a^2+b^2}{b^2} x - a \right) = 0 $$

これを解くと、$x = 0$ または $x = \frac{ab^2}{a^2+b^2}$ となる。

$x = 0$ のとき、③より $y = 0$ となる。 $x = \frac{ab^2}{a^2+b^2}$ のとき、③より $y = \frac{a}{b} \cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2b}{a^2+b^2}$ となる。

ここで、$a, b$ は0でない実数であるため、$a^2+b^2 \neq 0$ であり、また $\frac{ab^2}{a^2+b^2} \neq 0$ であるから、これら2点は異なる点である。 したがって、$k \neq -1$ である任意の $k$ について、円は異なる2つの定点 $(0, 0)$, $\left( \frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2} \right)$ を通る。

(ロ)

円の方程式 $(k+1)(x^2+y^2)=ax+kby$ について、$k \neq -1$ より $k+1 \neq 0$ であるから両辺を $k+1$ で割ると、

$$ x^2 + y^2 - \frac{a}{k+1}x - \frac{kb}{k+1}y = 0 $$

平方完成すると、

$$ \left( x - \frac{a}{2(k+1)} \right)^2 + \left( y - \frac{kb}{2(k+1)} \right)^2 = \frac{a^2+k^2b^2}{4(k+1)^2} $$

よって、この円の中心の座標を $(X, Y)$ とおくと、

$$ X = \frac{a}{2(k+1)} \quad \cdots \text{④} $$

$$ Y = \frac{kb}{2(k+1)} \quad \cdots \text{⑤} $$

$k \neq -1$ であるすべての実数値をとるとき、④において $a \neq 0$ より $X \neq 0$ である。 ④より、

$$ k+1 = \frac{a}{2X} $$

$$ k = \frac{a}{2X} - 1 $$

これを⑤に代入すると、

$$ Y = \frac{ \left( \frac{a}{2X} - 1 \right) b }{ 2 \cdot \frac{a}{2X} } = \frac{b(a-2X)}{2a} = -\frac{b}{a}X + \frac{b}{2} $$

この直線上の点において、$X=0$ のとき $Y = \frac{b}{2}$ であるから、求める軌跡は直線 $y = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{2}$ から点 $\left(0, \frac{b}{2}\right)$ を除いたものとなる。

解説

（イ）は $k \neq -1$ のすべての値で成り立つことから、$k$ についての恒等式として扱うと整理しやすい。 （ロ） は媒介変数表示された点の軌跡を求める問題であり、除外点が生じる。本問では $x \neq 0$ がその条件である。

答え

(イ)

円の方程式を $k$ について整理すると $k(x^2+y^2-by) + (x^2+y^2-ax) = 0$ となり、これが $k$ の値によらず成り立つための条件は $x^2+y^2-by = 0$ かつ $x^2+y^2-ax = 0$ である。これを解くと $(x, y) = (0, 0), \left( \frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2} \right)$ となり、$a \neq 0, b \neq 0$ よりこれらは異なる2点である。

(ロ)

直線 $2bx+2ay-ab=0$ （ただし、点 $\left(0, \frac{b}{2}\right)$ を除く） ※ 直線 $y = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{2} \ (x \neq 0)$ と表してもよい。