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京都大学 1965年理系第3問解説

方針・初手

等式が「$x$ がどんな角であっても、つねに成立する」ことから、この等式は $x$ についての恒等式である。恒等式の扱い方として、加法定理を用いて左辺を展開し、$\sin x$ と $\cos x$ の係数を比較する方法や、特定の $x$ の値を代入して必要条件から $\alpha, \beta$ の候補を絞り込み、その後に十分性を確認する方法が考えられる。

解法1

与えられた等式

$$ \sin(x + \alpha) + \sin(x + \beta) = \sqrt{3} \sin x $$

の左辺に加法定理を用いると、

$$ \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha + \sin x \cos \beta + \cos x \sin \beta = \sqrt{3} \sin x $$

となる。これを $\sin x$ と $\cos x$ について整理すると、

$$ (\cos \alpha + \cos \beta) \sin x + (\sin \alpha + \sin \beta) \cos x = \sqrt{3} \sin x $$

となる。これが $x$ についての恒等式であるため、両辺の $\sin x$ および $\cos x$ の係数は等しい。したがって、以下の連立方程式が得られる。

$$ \begin{cases} \cos \alpha + \cos \beta = \sqrt{3} \\ \sin \alpha + \sin \beta = 0 \end{cases} $$

第2式より、$\sin \beta = -\sin \alpha = \sin(-\alpha)$ である。条件より $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$ であるから、$-\frac{\pi}{2} < -\alpha < \frac{\pi}{2}$ となる。正弦関数の値が等しくなる範囲から、$\beta = -\alpha$ と定まる。

これを第1式に代入すると、

$$ \cos \alpha + \cos(-\alpha) = \sqrt{3} $$

$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ であるから、

$$ 2 \cos \alpha = \sqrt{3} $$

$$ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ の範囲でこれを解くと、$\alpha = \pm \frac{\pi}{6}$ となる。

$\beta = -\alpha$ であるから、 $\alpha = \frac{\pi}{6}$ のとき $\beta = -\frac{\pi}{6}$ となり、 $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ のとき $\beta = \frac{\pi}{6}$ となる。

解法2

与えられた等式は $x$ についての恒等式であるため、任意の $x$ の値に対して成立する（必要条件）。

$x = 0$ を代入すると、

$$ \sin \alpha + \sin \beta = 0 $$

となる。条件 $-\frac{\pi}{2} < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}$ より、$\beta = -\alpha$ を得る。

次に、$x = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{2} $$

$$ \cos \alpha + \cos \beta = \sqrt{3} $$

となる。ここで $\beta = -\alpha$ を用いると、

$$ \cos \alpha + \cos(-\alpha) = \sqrt{3} $$

$$ 2 \cos \alpha = \sqrt{3} $$

$$ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\alpha = \pm \frac{\pi}{6}$ となる。これと $\beta = -\alpha$ より、$(\alpha, \beta) = \left(\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}\right), \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$ が必要条件として求まる。

逆に、これらの値の組について元の等式が成り立つかを確認する（十分性の確認）。

$$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) $$

$$ = \left(\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6}\right) + \left(\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6}\right) $$

$$ = 2 \sin x \cos \frac{\pi}{6} $$

$$ = 2 \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ = \sqrt{3} \sin x $$

となり、任意の $x$ について等式が成立する。

解説

三角関数の等式が「どんな角であってもつねに成立する」という記述から、恒等式として処理する。解法1のように、加法定理で展開して $\sin x$ と $\cos x$ の係数を比較する方法で整理できる。解法2のように特定の値を代入して候補を絞ってもよいが、その場合は元の等式を満たすかを最後に確かめる。