トップ› 京都大学› 1979年› 文系第2問

京都大学 1979年文系第2問解説

方針・初手

与えられた等式が「すべての $x$ に対して成り立つ」という条件から、$x$ についての恒等式として扱う。$f(x-c)$ に加法定理を適用して展開し、定数項、$\cos x$ の係数、$\sin x$ の係数を比較することで $a, b, c$ についての連立方程式を立てる。

解法1

$f(x) = 1 + 2 \cos x + 3 \sin x$ より、

$$ f(x-c) = 1 + 2 \cos(x-c) + 3 \sin(x-c) $$

加法定理を用いて展開し、$\cos x$ と $\sin x$ について整理する。

$$ f(x-c) = 1 + 2(\cos x \cos c + \sin x \sin c) + 3(\sin x \cos c - \cos x \sin c) $$

$$ f(x-c) = 1 + (2 \cos c - 3 \sin c) \cos x + (2 \sin c + 3 \cos c) \sin x $$

これを与式 $af(x) + bf(x-c) = 1$ の左辺に代入して整理する。

$$ a(1 + 2 \cos x + 3 \sin x) + b \{ 1 + (2 \cos c - 3 \sin c) \cos x + (2 \sin c + 3 \cos c) \sin x \} = 1 $$

$$ (a + b) + (2a + 2b \cos c - 3b \sin c) \cos x + (3a + 2b \sin c + 3b \cos c) \sin x = 1 $$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、定数関数 $1$、$\cos x$、$\sin x$ が互いに一次独立であることから、各係数について以下の関係が成り立つことが必要十分である。

$$ \begin{cases} a + b = 1 & \cdots (1) \\ 2a + 2b \cos c - 3b \sin c = 0 & \cdots (2) \\ 3a + 3b \cos c + 2b \sin c = 0 & \cdots (3) \end{cases} $$

(2) および (3) を $b \cos c, b \sin c$ について整理する。

$$ 2b \cos c - 3b \sin c = -2a \quad \cdots (2)' $$

$$ 3b \cos c + 2b \sin c = -3a \quad \cdots (3)' $$

$(2)' \times 2 + (3)' \times 3$ を計算すると、

$$ (4b \cos c - 6b \sin c) + (9b \cos c + 6b \sin c) = -4a - 9a $$

$$ 13b \cos c = -13a $$

$$ b \cos c = -a \quad \cdots (4) $$

$(2)' \times 3 - (3)' \times 2$ を計算すると、

$$ (6b \cos c - 9b \sin c) - (6b \cos c + 4b \sin c) = -6a - (-6a) $$

$$ -13b \sin c = 0 $$

$$ b \sin c = 0 \quad \cdots (5) $$

ここから、$b$ の値によって場合分けを行う。

(i)

$b = 0$ のとき (5) は満たされる。(4) より $-a = 0$ すなわち $a = 0$ となる。これを (1) に代入すると $0 + 0 = 1$ となり、矛盾する。したがって、$b \neq 0$ である。

(ii)

$b \neq 0$ のとき (5) より $\sin c = 0$ となるため、$c = n\pi$ （$n$ は整数）である。これに応じて $\cos c$ の値が分かれるため、さらに場合分けを行う。

(ア)

$c = 2n\pi$ （$n$ は整数）のとき $\cos c = 1$ となる。これを (4) に代入すると $b = -a$ となる。これを (1) に代入すると $a - a = 1$ すなわち $0 = 1$ となり、矛盾する。

(イ)

$c = (2n+1)\pi$ （$n$ は整数）のとき $\cos c = -1$ となる。これを (4) に代入すると $-b = -a$ すなわち $a = b$ となる。これを (1) に代入すると $2a = 1$ より $a = \frac{1}{2}$ となり、したがって $b = \frac{1}{2}$ も定まる。これらは元の条件をすべて満たす。

解説

三角関数の恒等式の問題における典型的な処理を問う問題である。「すべての $x$ に対して成り立つ」という条件を見たら、展開・整理をして $\sin x, \cos x$, 定数項の係数比較に持ち込むのがセオリーである。連立方程式を解く際、$b \sin c = 0$ が導かれた後の場合分けにおいて、文字が $0$ になる可能性を忘れないように論理を展開することが重要である。