京都大学 1969年 理系 第5問 解説

方針・初手

ベクトル $\vec{X} = \vec{A} + \vec{B}_k$ の大きさの平方 $|\vec{X}|^2$ は、内積の性質を用いると $|\vec{A} + \vec{B}_k|^2 = |\vec{A}|^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B}_k + |\vec{B}_k|^2$ と展開できる。

期待値 $E[|\vec{X}|^2]$ を求めるためには、サイコロの各目 $k=1, 2, \dots, 6$ が出る確率 $\frac{1}{6}$ を考慮して、すべての $k$ についての $|\vec{X}|^2$ の平均を計算する。$|\vec{A} + \vec{B}_k|^2$ を内積で展開してから期待値の線形性を利用するとよい。

解法1

与えられた条件より、$|\vec{A}| = a$ である。また、$\vec{B}_k = \left( \cos \frac{k\pi}{3}, \sin \frac{k\pi}{3} \right)$ について、その大きさは

$$ |\vec{B}_k|^2 = \cos^2 \frac{k\pi}{3} + \sin^2 \frac{k\pi}{3} = 1 $$

であるから、$|\vec{B}_k| = 1$ である。

次に、ベクトル $\vec{X}$ の大きさの平方 $|\vec{X}|^2$ を計算すると

$$ \begin{aligned} |\vec{X}|^2 &= |\vec{A} + \vec{B}_k|^2 \\ &= |\vec{A}|^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B}_k + |\vec{B}_k|^2 \\ &= a^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B}_k + 1 \end{aligned} $$

となる。サイコロの各目 $k$ が出る確率は $\frac{1}{6}$ であるから、求める期待値 $E[|\vec{X}|^2]$ は

$$ \begin{aligned} E[|\vec{X}|^2] &= \sum_{k=1}^6 \frac{1}{6} (a^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B}_k + 1) \\ &= \frac{1}{6} \left( 6a^2 + 2\vec{A} \cdot \left( \sum_{k=1}^6 \vec{B}_k \right) + 6 \right) \\ &= a^2 + 1 + \frac{1}{3} \vec{A} \cdot \left( \sum_{k=1}^6 \vec{B}_k \right) \end{aligned} $$

ここで、$\sum_{k=1}^6 \vec{B}_k$ を計算する。$\vec{B}_k$ は単位円周上を $\frac{\pi}{3} (= 60^\circ)$ 刻みで並ぶ 6 つの点に対応するベクトルである。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^6 \cos \frac{k\pi}{3} &= \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{2\pi}{3} + \cos \pi + \cos \frac{4\pi}{3} + \cos \frac{5\pi}{3} + \cos 2\pi \\ &= \frac{1}{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) + (-1) + \left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2} + 1 \\ &= 0 \end{aligned} $$

同様に、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^6 \sin \frac{k\pi}{3} &= \sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{2\pi}{3} + \sin \pi + \sin \frac{4\pi}{3} + \sin \frac{5\pi}{3} + \sin 2\pi \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 0 \\ &= 0 \end{aligned} $$

したがって、$\sum_{k=1}^6 \vec{B}_k = \vec{0}$ となる。

これを期待値の式に代入すると

$$ E[|\vec{X}|^2] = a^2 + 1 + \frac{1}{3} \vec{A} \cdot \vec{0} = a^2 + 1 $$

を得る。

解説

期待値の線形性を用いて、まず $\sum_{k=1}^6 \vec{B}_k$ を調べると見通しが立つ。

各 $\vec{B}_k$ は原点を中心とする正六角形の各頂点を指すベクトルであり、その総和は $\vec{0}$ になる。したがって、定ベクトル $\vec{A}$ の成分が具体的に与えられていなくても、大きさ $a$ だけで期待値が定まる。

同種の問題では、対称性によってベクトルの和が消えるかどうかを見ると処理しやすい。

答え

$a^2 + 1$