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九州大学 1988年文系第4問解説

方針・初手

確率変数 $X, Y$ が独立であることから、それぞれの値をとる確率の積を用いて、新しい確率変数 $Z = X - Y$ の確率分布を求める。確率分布の表が完成すれば、それに基づいて確率や期待値を計算していく基本的な流れとなる。最後の領域図示は、不等式の表す領域を座標平面上に描く問題に帰着される。

解法1

(1)

$X$ がとる値は $1, 5$、$Y$ がとる値は $1, 3$ であるから、$Z = X - Y$ がとり得る値は以下のようになる。

$X = 1, Y = 1$ のとき、$Z = 1 - 1 = 0$ $X = 1, Y = 3$ のとき、$Z = 1 - 3 = -2$ $X = 5, Y = 1$ のとき、$Z = 5 - 1 = 4$ $X = 5, Y = 3$ のとき、$Z = 5 - 3 = 2$

$X, Y$ は独立な確率変数であるから、それぞれの事象が起こる確率は以下の通りとなる。

$$P(Z = 0) = P(X = 1)P(Y = 1) = pq$$

$$P(Z = -2) = P(X = 1)P(Y = 3) = p(1 - q)$$

$$P(Z = 4) = P(X = 5)P(Y = 1) = (1 - p)q$$

$$P(Z = 2) = P(X = 5)P(Y = 3) = (1 - p)(1 - q)$$

よって、$Z$ の確率分布は次の表のようになる。

$Z$	$-2$	$0$	$2$	$4$	計
確率	$p(1 - q)$	$pq$	$(1 - p)(1 - q)$	$(1 - p)q$	$1$

(2)

$Z \geqq 0$ となる事象は、$Z < 0$ すなわち $Z = -2$ となる事象の余事象であるから、確率は次のように求められる。

$$P(Z \geqq 0) = 1 - P(Z = -2)$$

$$= 1 - p(1 - q) = 1 - p + pq$$

(3)

期待値の線形性より、$E(Z) = E(X - Y) = E(X) - E(Y)$ が成り立つ。

$$E(X) = 1 \cdot p + 5 \cdot (1 - p) = 5 - 4p$$

$$E(Y) = 1 \cdot q + 3 \cdot (1 - q) = 3 - 2q$$

したがって、求める期待値は以下のようになる。

$$E(Z) = (5 - 4p) - (3 - 2q)$$

$$= 2 - 4p + 2q$$

(4)

(2), (3) の結果より、与えられた連立不等式は次のようになる。

$$ \begin{cases} 1 - p + pq \geqq \frac{1}{2} \\ 2 - 4p + 2q \leqq 0 \end{cases} $$

整理すると、以下の不等式を得る。

(i) $p(1 - q) \leqq \frac{1}{2}$

(ii) $q \leqq 2p - 1$

これに加えて、確率の定義より $0 \leqq p \leqq 1$、$0 \leqq q \leqq 1$ を満たす必要がある。

(ii) と $0 \leqq q \leqq 1$ より、$0 \leqq 2p - 1$ すなわち $p \geqq \frac{1}{2}$ となる。したがって、範囲は $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ であり、$p > 0$ であるから、(i) の両辺を $p$ で割ることができる。

$$1 - q \leqq \frac{1}{2p}$$

$$q \geqq 1 - \frac{1}{2p}$$

以上より、求める点 $(p, q)$ の集合は、$\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ において、次の不等式を満たす領域である。

$$1 - \frac{1}{2p} \leqq q \leqq 2p - 1$$

ここで、境界となる直線 $q = 2p - 1$ と双曲線 $q = 1 - \frac{1}{2p}$ の交点を調べる。

$$2p - 1 = 1 - \frac{1}{2p}$$

両辺に $2p$ を掛けて整理する。

$$4p^2 - 2p = 2p - 1$$

$$4p^2 - 4p + 1 = 0$$

$$(2p - 1)^2 = 0$$

よって、$p = \frac{1}{2}$ の重解をもつ。すなわち、直線と双曲線は点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ で接する。

また、$p = 1$ のとき、直線は点 $(1, 1)$ を通り、双曲線は点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ を通る。

したがって、求める点 $(p, q)$ の集合を図示すると、座標平面上で点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ と点 $(1, 1)$ を結ぶ線分（下側）と、点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ と点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ を結ぶ双曲線の弧（上側）、および直線 $p=1$ の $\frac{1}{2} \leqq q \leqq 1$ の部分で囲まれた領域となる。境界線はすべて含む。

解説

(3)の期待値の計算では、分布表から直接計算する $E(Z) = \sum z_i P(Z=z_i)$ という定義に従う方法もあるが、独立であるかどうかにかかわらず成り立つ期待値の線形性 $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ を用いると計算量が大幅に減り、ミスを防ぎやすくなる。(4)の領域図示においては、不等式の境界線同士が「交わる」のか「接する」のかを方程式の解から確認するプロセスが重要である。